第十节 球

关于球的考查分类及其对策

　　高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．考试说明中对这类题目有如下要求：掌握球的表面积和体积公式，解决与球的截面有关的问题．这就是这类题目既有可能考查，但又不作过难考查．故题目的考查多出现在选择题、填空题中．因此要想解决好球的问题，必须心中有数，明确大纲要求，防止复习方向出现偏差，下面就这类问题的考查分类及解决对策谈一些看法．

一、考查与球相切的问题

　　球的相切问题比较容易解决，关键是抓住相切时的实质，即切点到球心的距离等于其半径．

　　例1  设正方体的全面积为 ，一个球内切于此正方体，那么这个球的体积是（     ）

　　（A）　　（B） 　　（C）　　（D）

　　分析  设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，则 ，又 ，故 ．

　　∴ ，故选（B）

　　例2  已知轴截面是正方形的圆柱与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积之比是（     ）

　　（A）6：5　　（B）5：4　　（C）4：3　　（D）3：2

　　分析  这里实质上是球内切于一个圆柱．设球的半径为 ，则 ， ，得 ，故选（D）．

　　二、考查球的内接问题

　　把一个多面体的几个顶点放在球面上，或把一个旋转体的顶点及底面放在球面上来考查有关问题，即球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点（即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，或旋转体的轴截面是平面图形）．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．

　　例3   已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面通过球心，母线与底面所成的角为 ，则圆台的体积与球的体积之比为_____________．

　　分析  如图，这是圆台和球 的截面图．设圆台的轴截面为 ，球的半径为 ，由已知可得 ， ，故 ．所以 ．过 作 于 ，则 ．

　　∴ ，

　　　 ．

　　∴  ．

　　例4  长方体的一个顶点上三条核的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（      ）

　　（A）　　（B） 　　（C）　　（D）

　　分析  设球的半径为 ，则由已知得 ，故 ．于是 ．故选（C）．

　　注  这类问题有时根据图的特殊性，可利用补图法妙解．

　　三、考查球面上的点与球的关系

　　这类问题多是通过球面上的三点（由于不共线）得到一个小圆，再利用小圆的特殊性达到考查球的半径、面积、体积之目的．解决这类问题关键是抓住小圆上的点（即球面上的点）到球心的距离等于半径及公式 （ 为小圆圆心到球心的距离， 为球的半径， 为小圆的半径）．

　　例5  已知球面上 ， ， 三点的截面到球心的距离等于球的半径的一半，且 ，则球的面积是（      ）

　　（A）　　（B） 　　（C）　　（D）

　　分析  如图，设过 ， ， 三点的截面小圆与球的半径分别为 ， ，截面圆心、球心分别为 、 ．由已知，得 ， ， ．由 ，得 ．故选（D）．

扩展资料

球面距离的计算及其计算公式

　　在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）

　　如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点， 为圆心，⊙ 为过A、B的大圆，⊙ 为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设 ， ，球半径为 ，半径为 ．则有 大圆弧长 ， 小圆弧长

   （1）

　　但 ，即

   （2）

　　将（2）代入（1）得

   （3）

  

　　∵ ，由（2）式知 .

　　由于 ，故只需证明函数 在 内为单调递减即可.

　　∴

　　（∵当 时，有 ）

　　∴ 在 单调递减

　　由（3）式不难得到

　　　　

　　即 . 故大圆劣弧最短。

　　球面距离公式：设一个球面的半径为 ，球面上有两点 、 . 其中 ， 为点的经度数， 、 为点的纬度数，过 、 两点的大圆劣弧所对的圆心角为 ，则有

（弧度）

　　A、B间的球面距离为：

　　证明：如图3，⊙ 与⊙ 分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过 、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作 面 ，垂足 位于 上，连结 、 . 则

　　

　　　　

　　　　

　　在 中，由余弦定理，得：

　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　故

　　又

　　比较上述两式，化简整理得：

　　从而可证得关于 与 的两个式子.

　　例题  北京在东经 ，北纬 ，上海在东经 ，北纬 ，求北京到上海的球面距离.

　　解：

　　∴  （弧度） 

　　∴  所求球面距离为