第六节 两个平面垂直的判定和性质

　　二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．
　　我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．
　　一、根据平面角的定义找出二面角的平面角
　　例1  在 的二面角 的两个面内，分别有 和 两点．已知 和 到棱的距离分别为2和4，且线段 ，试求：
　　（1）直线 与棱 所构成的角的正弦值；
　　（2）直线 与平面 所构成的角的正弦值．

          

　　分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．
　　根据题意，在平面 内作 ；在平面 内作 ， ，连结 、 ．可以证明 ，则由二面角的平面角的定义，可知 为二面角 的平面角．以下求解略．

二、根据三垂线定理找出二面角的平面角

　　例2  如图，在平面 内有一条直线 与平面 成 ， 与棱 成 ，求平面 与平面 的二面角的大小．
　　分析：找二面角的平面角，可过 作 ； 平面 ，连结 ．由三垂线定理可证 ，则 为二面角的平面角．
　　总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
　　（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 ”、“连结 ”、“证明 ”．

三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角

　　例3  如图1，已知 为 内的一点， 于 点， 于 点，如果 ，试求二面角 的平面角．

　　分析： 平面 ．
　　因此只要把平面 与平面 、 的交线画出来即可．证明 为 的平面角， （如图2）．
　　注意：这种类型的题，如果过 作 ，垂足为 ，连结 ，我们还必须证明 ，及 为平面图形，这样做起来比较麻烦．

　　例4  已知斜三棱柱 中，平面 与平面 构成的二面角的平面角为 ，平面 与平面 构成的二面角为 ．试求平面 与平面 构成的二面角的大小．
　　分析：作三棱柱的直截面，可得△ ，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．
　　总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．

四、平移平面法

　　例5  如图，正方体 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ．设正方体的棱长为 ，求平面 与底面 构成的锐角的正切．

　　分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点 ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．
　　如图，过点 作 与 相交于 点，过 点作 ，与 相交于 点．可证平面 平面 ．这样，求平面 与平面 的二面角的平面角就转化为求平面 与平面 的二面角的平面角．显然 为这两个平面的交线，过点 作 ， 为垂足，连结 ，可证 ．则 为本题要寻找的二面角．

五、找垂面，作垂线

　　例6  如图，正方体 中， 为棱 的中点，求平面 和平面 所构成的锐二面角的正切．
　　分析：平面 与二面角 的一个面 垂直，与另一个平面 相交，过 点作 ，垂足为 ，过 作 ，交 于 点，连结 ，由三垂线定理可证 ，则 为二面角 的平面角．

　　总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．
　　再如图，要找 所构成的二面角的平面角，可找平面 ，且 ， ，过 上任何一点 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连结 ，可证 为 的平面角．

六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角
1．三线合一

　　例7  如图，空间四边形 中， ， ， ， ．试求 二面角的余弦值．
　　分析：如图， ， ，则△ 和△ 为等腰三角形．过 作 ，垂足为 ，连结 ．根据三线合一，且 为 中点，可证 ，则 为二面角 的平面角．

2．全等

　　例8  如图，已知空间四边形 ， ， ， ， ．试求 的余弦值．
　　分析：过 作 ，垂足为 ，连结 ．根据已知条件，△ 和△ 全等，可证 ，则 为二面角 的平面角．

3．二面角的棱蜕化成一点
　　例9  如图，四棱锥 中， 和 与面 垂直，△ 为正三角形．
　　（1）若 时，求面 与面 的夹角；
　　（2）若 时，求面 与面 的夹角．

　　分析：如图，面 与面 的交线蜕化成一点，但面 与面 与面 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线 与 互相平行，所以肯定有过 且平行于 的一条交线．
　　可过 作 ，平面 与平面 的交线即为 ．过 作 于 ，过 作 于 ．可证 ， ，则 为面 与面 的夹角．

　　如图， 与 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长 、 相交于 点，连结 ． 即为平面 与平面 的交线，通过一些关系可证 为平面 与平面 的夹角．
　　通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．

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