第五节 抛物线及其标准方程

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对课本一道习题的变式研究

　　题目（ 习题 第7题）过抛物线 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为 ，求证 .

　　证明：在本题中，直线 过焦点 ，具有上述性质，反之若直线与抛物线 的两个交点的纵坐标 具有 ，直线是否经过焦点 呢？

　　变式1，若抛物线 上两个动点 的纵坐标分别是 且满足 ，则直线 经过焦点 .

　　证明：设 的坐标分别为 、 .

　　若 ，则由 ， ，知 ，所以 ， ，此时直线 过焦点 .

　　若 ，由直线的斜率公式得：

 ，



     又 代入得

       因此 三点共线，直线 过焦点 .

     即 是 过焦点 的充要条件。

　　变式2  设 是抛物线 对称轴上的一个定点，过 的直线交抛物线于 两点，其纵坐标为 ，求证 是定值。

　　证明：因为 与抛物线交于两点，因此可设 的方程为 代入 中消去 得： ，由韦达定理知 （定值）

　　变式3  设抛物线 上面动点 分别为 ， ，且满足 （ 为常数），问 是否恒过来某一定点？

　　解：当 时， ， 的方程为

　　将 代入化简，整理得

　　    的方程为 ，

　　即 过定点 .

　　当 时，结论成立，（实际上 时， 同号，点 在对称轴的同侧且 ，所以当 时，必有 ）

　　变式4  设抛物线 的两动点 ， ，满足 （ 是常数），求 中点 的轨迹方程。

　　解：设 的坐标为 ，则 ， ，又 在抛物线上，所以有 ， ，则 ，将 ， 代入化简得点 的轨迹方程是 .

　　由以上可知，对课本题进行联想、引申和改造，可以得到综合性强，形式新颖的命题，多思考、多训练可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新的能力。