第三节 双曲线及其标准方程

“情侣”曲线—椭圆与双曲线

　　细心研究，教学奥妙无穷，深入探索，数学联系密切，深入研究椭圆与双曲线，发现它们之间有一组有趣的性质．

　　性质1：若双曲线 的弦 和实轴 所在直线垂直，则直线 与直线 的交点的轨迹是以已知双曲线 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆 ．

　　证明：不防设已知双曲线 的方程为

则它的两个顶点为 ， 如图，

　　因为 ，因此设 ，

　　则直线 的方程为 　　　①

　　直线 的方程为 　　　  ②

　　①×②，得           ③

　　又点 在双曲线上，所以 ，即 ．

　　将④代入③，消去 、 ，整理得

　　即是所求椭圆 的方程，结论成立．

　　性质2：若椭圆 的弦 和长轴 垂直，则直线 与直线 的交点，轨迹是以已知椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴的双曲线 ．证明与性质1类似，请读者自己给出证明．

　　由此可知椭圆与双曲线相伴，双曲线与椭圆相随．

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