第十一节 已知三角函数值求角

驾驭着波峰的数学

　　如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪会升起。有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几小时。在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择。不用说，波理论和波活动性是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪。风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋。海浪在水面上行动。当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性。19世纪初，对海浪的数学开展了很多研究。在海上和在受控制的实验室中所作的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论。1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论。在他的观测中，他记录着波中水粒是如何作圆周运动的。位于波峰（最高点）的水的运动方向与波相同，位于波谷（最低点）的水的运动方向则相反。在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位。圆的直径被发现等于波的高度。水的整个深度中水粒都在生成圆。但水粒愈深，它的圆愈小。事实上，人们发现在相当于波长（两个相邻峰之间的水平距离）的1/9的深度，圆形轨道的直径大约是水面上水粒 的圆形轨道的直径的一半。

　　因为波浪与这些作圆周运动的水粒有关，并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关，这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不奇怪了。但是人们发现，波浪既不是严格的正弦曲线，也不是任何别的纯粹的数学曲线。水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已。今天研究波浪时，用到了概率、统计学和复杂性这些数学工具。人们考察了大量小波，并从所收集到的数据提出预测。

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　　海洋波浪的另外一些有趣的数学特性是：

　　（1）波长与周期有关。

　　（2）波高与周期和波长都无关（有一些例外，但周期和波长的影响很小）。

　　（3）当峰角超过120°时，波会破裂。波破裂时，它的大部分能量都消耗掉了。

　　（4）确定波何时将会破裂的另一方法是把波高与波长比较。当这比率大于1/7时，波将破裂。

　　波高 从峰到谷的垂直距离

　　波长 相邻两峰间的水平距离

　　波周期 波峰行经一个波长所需时间（以秒为单位）

　　正弦曲线是一种周期性（有规则地重复它的形状）的三角函数曲线。

　　摆线是指一个圆在一直线上平稳地滚动时圆上一定点的轨迹。

用几何画板巧作一段正切曲线

　　首先启用几何画板软件（如果您电脑上没有安装该软件，可以到网上免费下载，但4.0版的不免费），该画法分六步：

　　第一步：在图表菜单中选择建立直角坐标系命令，在图表菜单中选绘制点选项，绘制出点 、 、 ．（ ，4.0以上版可以直接绘制点 ）同时选点 、 轴（按住shift、下同），在作图菜单中选择平行线选项，做过 点平行于 轴的直线 ，同理可做出过 点的且平行于 轴的直线 ．

　　第二步：选择点 、点 ，在作图菜单中选择“以圆心和圆周上的点画圆”选项，做出以 为圆心，以线段 为半径的圆，过 点作出平行于 轴的直线 ，选择圆和 ，在作图菜单中选择“交点”选项，作出 与圆的交点 、 、隐藏 和圆，选择点 、 、 ，在作图菜单中选择“过三点的弧”选项，做出过 、 、 三点的弧，连接点 、点 、做出完整的半圆。

　　第三步：选择“点”工具，在半圆上做出一个点 ，按照 、 、 的顺序依次选择三个点，在“度量”菜单中选择“角度”选项，度量出 的大小，在“显示”菜单中选择“参数选择”选项，在对话框中把“角度”改为“弧度”，选择 的度量值，在“图表”菜单中选择“绘制度量值”选项，出现绘制度量值对话框，单击“确定”，屏幕上出现一条垂直于 轴的虚线

　　第四步：作出线段 ，在“作图”菜单中，做出过点 的线段 的垂线 ，过 作 的垂直平分线 ，作出直线 和直线 的交点 ，隐藏直线 、 和线段 ，作出线段 ，过点工作直线 的垂线 ，作出 和 的交点 ，隐藏垂线 ，过点 、 作线段 ，选择 点，打开“显示”菜单选择“追踪点”选项，当点 在半圆上运动时，点 的轨迹就是正切图像。

　　第五步：选择 点和半圆，打开“编辑”菜单，选择“操作类按钮”选项，在下拉菜单中选择“动画”选项，在“匹配路径”对话框中，根据情况选择您所需要的动画，双击“动画”图标，点 就自动地绕着半圆运动，此时点 的轨迹就是正切 的一段图像

　　第六步：同时选择点 和点 ，打开“作图”菜单，选择“轨迹”选项，正切和图像就出现了，选择正切图像，在“编辑”对话框中选择“操作类按钮”中的隐藏就可以根据您的需要显示或隐藏正切图像。