第八节 正弦函数、余弦函数的图象和性质

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一剪刀剪出一条正弦曲线

　　把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线．

　　你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实．

　　如图1，设纸筒底面半径为1单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为 （定值），截口的中心为 ．

　　过 作圆柱的直截面，交截口曲线于两点．取其中一点为 ，在过点 且与圆柱侧面相切的平面内，以点 为坐标原点建立直角坐标系，使得 轴是圆柱的一条母线．

　　设点 是截口曲线上任意一点，点 是点 在⊙ 所在平面内的射影，过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 是截面与底面所成二面角的平面角，所以， ，又设 （变量）．

　　在图2中，设 点坐标为 ，以下分别计算 点的横坐标和纵坐标．

　　 ， ，       ①

　　而在 △ 中， ，所以

　　　             nbsp;      ②

　　将①代入②，且令 （定值），则有

　　这就证明了截口曲线是一条正弦曲线．

（原载《数学通讯》2000年第10期 王方汉 文）