第七节 二倍角的正弦、余弦、正切

有趣的米勒问题

　　米勒（Johannes Miiller），德国数学家，曾在莱比锡、维也纳学习天文学和三角学，1468年至1471年在维也纳大学任教授，1471年定居纽伦堡，从事天文学研究，米勒对三角学做出了贡献．大约在1461至1464年间，他写成《论三角》书，书中给出了有关球面三角学的正弦定理、余弦定理、计算了三角函数表，相当精确．他的这些工作使三角学脱离文学而成为一门独立的学科．另外，米勒在研究几何时采用了代数方法，这在当时是别具一格的．
　　1471年，米勒向诺德尔（Christian Roder）教授提出以下十分有趣的问题：
　　在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）
　　在米勒的家乡哥尼斯堡，这个问题称为雷奇奥莫塔努斯（Reqiomontanus）的极大值问题．该问题本身并不难，然而作为载入世界数学史上的第一个极值问题而引人注目．
　　下面这个简明解法是罗斯（Ad·Lorsch）给出的．
　　如图1，设 为杆的上端点， 为杆的下端点． 垂直于地平面，垂足记为 ，于是线段长 ， 均为已知，以 为中心在地球表面上画的圆上的所有对 的视角都相等．因此，我们只需过 任作一条垂直于 的直线 并在这条水平地沿着地球表面的线上找出这样的点 ，使得在这点的可见角 最大．
　　△ 的外接圆 必与 相切干 点．事实上，若 不与圆 相切，则除 点儿圆 与 还有另一个公共点 ，而对于线段 的中点 而言， 是圆 的圆内角，这时， ，这就与 是最大可见角矛盾．
　　设过 的圆 与直线 相切于点 ，则 取得最大值．这是因为对 上异于 的任一点 而言， 是圆 的圆外角，所以 ．

点的位置可以这样来确定，根据切割线定理， ，即有 ．
　　从而，我们得出结论：以是杆与地面垂直的垂足为圆心，以是杆两端到地面距离的乘积的算术根为半径，在地球表面上画圆，该圆周上的点对悬杆的视角为最大．
　　1986年全国高考数学试题理科第五大题其实就是“米勒问题”：

　　如图2，在平面直角坐标系中，在 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 ， ．试在 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 ，使 取得最大值．
　　下面，我们运用高中数学知识结出这道高考题的一种简洁解法．
　　解  如图3，设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，并记 ， ， ，则 ，且 ．

　　所以 
．
　　因此，当 ，即 时， 取得最大值 ．
　　因为在 内 是增函数，所以当 时， 取得最大值 ．故所求的 点坐标为 ．
　　更一般的“米勒问题”（解略）是：
　　在已知直线 的同侧有 ， 两点，试在 上求一点 ，使 最大．
　　将此问题特殊化，便可得到1984年西安市中学生数学竞赛试题：
　　在直线 上求点 （如图3），使 对线段 有最大视角，证明你的结论．

（原载《数学通讯》2000年第22期，宋庆文）

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