第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切

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月球有多远？多大？

　　如图1，如果从地球上A点看，月球S刚好在地平线上（即AS和地球半径OA垂直），而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处（即S在地球半径OB的延长线上），那么∠S就叫做月球S的地平视差。根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离。 ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A、B两点的经纬度算出。 月球S的地平视差（∠S），就是从月球S看来，垂直于视线（SA）的地球半径（OA）所对的角。

　　已知地球半径R=6370千米，月球的地平视差是57ˊ，我们就可以计算月球离我们的距离。

　　在Rt△OAS中，

　　

　　即月球离地球的距离是三十八万四千公里。

　　一般地，已知地球半径R，又已知一个天体的地平视差a，那么这个天体离地球的距离D可以从下式算出：

　　

　　但是用这个方法测定天体的距离，只适用于较近的天体，例如太阳系的天体，如太阳、行星和地球的卫星等，对于更远的天体，如其他恒星，则因地平视差非常小，几乎等于零，这个方法就不适用，而要用其他的方法来测定它们的距离。由于需要的知识比较复杂，在此不加介绍。

　　当我们已知月球离我们的距离时，就可以测定月球直径的大小。 如图2，把一个五分的硬币(直径2.4厘米)，放在离眼睛2.6米的地方，大致能够把整个月面遮住。(试一试!)

如图3，由△OAB～△OCD，可得：

　　 (相似三角形对应高的比等于相似比)。

　　把AB=0.024米，OF=384000000米，OE=2.6米代入，得

　　

　　就是说，月球的直径约是3500公里。

　　另一种测定月球直径大小的方法，需要观测月球对地球上一点所张的视角θ(如图4)。

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三角学的出现与第一张弦表的问世

　　在古代，三角学只是几何学中研究“三角形之量度”的那部分．使三角学从几何学中分离出来，成为一门独立学科的标志是第一张弦表的问世．

　　公元前二世纪中叶，古希腊的天文学家希巴诸斯，为了天文观察工作的需要，进行了造表的工作．他在一个固定的圆内，计算给定度数的圆弧 所对应的弦 的长度．但是，希巴诸斯得到的一系列弦值，不是现代三角学理论中的正弦值，而是所谓的“全弦值”．

　　由于希巴诸斯的原著早已失传，所以关于他在三角学上的成就，人们是从托勒密的著作中得知的，因此有人就干脆把第一张弦表不叫做“希巴诸斯弦表”，而叫做“托勒密弦表”．

　　托勒密也是一位天文学家，他在公元二世纪中叶所著的“算学总览”一书中，给出了从 到 ，每隔半度的弦表．

　　在公元五世纪左右，印度数学家阿耶波多在造表工作中，不再研究对应于中心角 的全弦 （如图），而是研究它的一半 ，这就是现代三角学中所称的角 的正弦线，它把三角学的研究又推进了一步．

　　在公元九世纪左右，阿拉伯数学家阿尔·巴坦尼在吸收了托勒密全弦表和阿耶波多正弦表的优点的基础上，还造出了一张包含从 到 ，每隔 的余切表．半个多世纪后，阿布尔·威发又造出了间隔仅为 的正弦表和正切表，并首次引入正割和余割这两个概念，使六个三角函数概念全部出现了．

　　公元十二世纪，阿拉伯天文学家纳速拉丁总结了前期数学家在三角学上的成就，力图使三角学脱离天文学而成为一门独立的数学科目．他提出了正弦定理和正切定理，并用它们来解释三角形，但他没有实现他的愿望．真正使三角学成为一门独立的数学科目的学者是德国人约翰·米勒．

　　公元十五世纪，约翰·米勒以笔名列基蒙塔发表了第一本系统论述三角学的著作《论一般三角形》．该书全面地叙述了平面三角形和球面三角形的解法，并明确指出三角学是一门独立的数学科目，无需从属于天文学．

　　十六世纪，法国数学家韦达又将三角学进一步系统化，将三角学中的公式以拉丁字母来表示，从而使三角学具有了现代的形式．

　　十八世纪，欧拉给出了三角函数的概念，而原来意义下的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等概念，都可以脱离开几何图形来进行数学的推演，一切三角关系公式也很容易地从三角函数的定义出发而推导出来．欧拉的研究工作，使三角学从只是研究三角形的解法这一狭隘的天地中解放出来，使三角学有可能去研究现实世界中一切可以用三角函数来反映的运动和变化过程．因此，严格地说，此时才是三角学的真正的确定．欧拉应被推为三角函数近代理论的创始人．

　　笛卡尔在研究"解析几何"时创立的坐标方法，又一次推进了三角学的研究，为了研究任意角的三角函数，人们可以不再局限于直角三角形中用两边的比值来定义三角函数，也可以不象欧拉那样局限于圆中，认为“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”，而是可以采用坐标方法来给出三角函数的定义，采用坐标方法来证明正弦定理、余弦定理，导出同角公式、诱导公式、和差公式，从而使三角学理论具有了更为广泛的、统一的形式．现行中学数学教材中，关于三角学的内容，就是采用这种统一的形式来编写的．

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