第十五节 相切在作图中的应用

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古希腊三大几何问题

　　传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将它神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行．人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力．这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方问题．用数学语言表达这就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的2倍．另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方的问题．

　　古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难．问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有看深刻的内涵．它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规．但直尺和固规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点．某个图形是可作的就是指从有限个点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到．这一过程中隐合了近代代数学的思想．经过两千多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这三个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”．认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃．

　　然而，一旦改变了作图的条件，问题则会变成另外一个样子．比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了．数学家们在这些问题上又演绎出很多故事．直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图增添了精彩的一笔．（选于《素质教育新学案》一书）