第三节 相似三角形

关于三角形的一个问题

　　在 中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：（见图）

　　（1）当 时，有 （如图（1））

　　（2）当 时，有 （如图（2））

　　（3）当 时，有 （如图（3））

　　在图（4）中，当 时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示 的一般结论，并给出证明.（其中n是正整数）

　　

关于三角形内角平分线性质定理

　　请阅读下面材料，并回答所提出的问题.

　　三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

　　已知：如图所示， 中，AD是角平分线，

　　求证：

　　分析：要证 ，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似.现在B、D、C在一直线上， 与 不相似，需要考虑用别的方法换比（即中间比）.

　　在比例式 中，AC恰得BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作 ，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明 就可以转化成证 .

　　证明：过C作 ，交BA的延长线于E.

　　

　　1．上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）.

　　2．在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？

　　①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想.

　　3．用三角形内角平分线性质定理解答问题：

　　 已知：如图所示， 中，AD是角平分线， 求BD的长.