第七节 二次根式的化简

含字母的二次根式的化简与求值

　　含字母的二次根式的化简和求值问题，既有较简单的问题，也有较复杂的问题，在解法上具有一定的灵活性和多样性，因此解决这类问题既有常规的一般方法，也有使用一定技巧的特殊方法。

　　典型例题解析

　　（一）直接代入法

　　直接将已知条件代入到所求的式子中，经过恒等变形得出最简结果，这种方法是直接代入法，直接代入法是最基本、最常用的方法之一。

　　例1  已知：

　　求 与 的值

　　【方法导引】  将已知条件直接代入 与 可求出它的值来。

　　解：∵

　　∴

　　　　　　

　　∴

　　　　　

　　　　　

　　【解后评注】  当求出 的值等于6之后，再求 的值时，可以利用上述结果，解法如下：

　　

　　　　

　　例2  已知： ，其中 是实数，并且 ，试求下列各式的值。

　　【方法导引】  这是由课本上一个习题改编而来，可采用直接代入法求值。

　　解：（1）∵

　　∴

　　　　　　

　　（2）

　　　　　　　

　　（3）把 代入 中，得

　　　

　　　

　　　

　　∴

　　（4）同理可得（即同样的道理可以得到 ）

　　例3  ，求 的值。

　　解：∵

　　∴

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　（二）变形代入法

　　在解决“含条件的二次根式的化简与求值问题”时，如果把条件直接代入待化简（求值）的式子中（下面简称代入结论中——将式子化成最简结果，也可视为一个结论），有时解答过程比较麻烦（例如下面所举折几个例子），这时需要对条件或者结论进行一些“手术”——把它们作适当的恒等变形，然后再把条件代入结论中，这种方法，我们不妨称之为“变形代入法”，以区别于“直接代入法”。

　　“变形代入法”的关键是：对条件或结论作适当的恒等变形，一般地说，变形有以下三种情况：适当的变条件；适当的变结论；同时变条件与结论。

　　1．变条件

　　先对条件进行适当的变形，然后把变形后的条件代入结论中，再经过化简，得出二次根式的最简结果。

　　例4  已知： ，求 的值。

　　【方法导引】  先把a与b进行化简（分母有理化），再代入求值。

　　解：因为

　　所以

　　例5  已知 ，求 的值。

　　解：∵

　　

　　∴

　　　　　　　　

　　【解后评注】  以上两例说明，如果把条件作适当的变形（以上两例是将已知的根式进行化简），再代入结论中，可以使解答比较简便下面看一个题目，它从另一个侧面说明“直接代入法”的局限性。

　　例6  已知： ，并且 ，试求 的值。

　　【方法导引】  这是属于“含条件的二次根式的求值问题”，但无法将条件直接代入结论中，怎么办呢？不妨试试对条件作些变形——用十字相乘法把 分解因式。

　　解：由 ，得

　　 或

　　于是 或

　　以下分 与 （即 ）两种情况分别求值。

　　（1）当 时，有

　　 　　　　　（1）

　　（2）当 时，有 　（*）

　　　

　　　

　　　 　　　　　（2）

　　由（1）（2）得知： 的值等于0或

　　【解后评注】  这个题目由已知条件得出两种并列的情况： 或者 。

　　在两种情况下分别得出所求的值（0或 ）这种数学方法是所谓的“分情况讨论”的方法，简称“分类讨论法”，这种方法在解决数学问题时，是常常使用的一种方法。

　　在“ ”时，原题还可以这样来做：

　　 （在上面的（*）处）

　　　　

　　　　

　　下面再举一个较为复杂的题目。

　　例7  已知 ，则 的值等于_________。

　　【方法导引】  如果采用“直接代入法”，即把条件直接代入结论中，再化简求值，运算量大，比较麻烦，而且容易出错。如果把条件作适当的变形——分别求出 与 的值，再代入结论中，就比较简便了。

　　解：由已知，得：

　　∴ 　　　①，

　　 　　　　②

　　由②得 　　　　③

　　由已知，有

　　

　　∴ ，即

　　∵ 　　∴ 　　　　④

　　由③和④得 　　⑤

　　把①和⑤代入结论中，得

　　

　　这个题目还可以有更好的解法，留到后面再说。

　　2．变结论

　　先把结论（待化简求值的式子）作适当的变形，再把条件代入，有时会使解答简便一些。

　　例8    已知 ，试求 的值

　　【方法导引】  条件比较简单，不必变形，但如果把条件直接代入结论中，逐个计算， 然后再相加，当然也是可以的，但比较麻烦。由于 与 ，容易算出，而 经变形，可以用 与 表示，因此得出下面的简便解法。

　　解：因为

　　

　　所以

　　　

　　　

　　例9 已知 ，试求 的值。

　　解：

　　

　　∴

　　例10 已知 ，且 ，求 的值。

　　【方法导引】 待求式子十分复杂，但仔细观察，却有规律，因此不如先化简它然后再代入条件。

　　解法1：设待求式子为M，则

　　

　　　

　　M中的分子为：

　　　

　　　 　　①

　　M中的分母为：

　　

　　∵ ，

　　∴

　　　　

　　　　

　　至此，题目解答完了，但过程比较冗长，似乎不令人满意，是否有更好的解法呢？经过思考、探索，我们再提出一种解法，它是巧妙地变化结论而得到的。

　　解法2：∵

　　∴

　　

　　∴ 　　①

　　同理可得：

　　

　　∴ 　②

　　由①、②可知：

　　原式

　　　　

　　　　

　　3．同时变条件与结论

　　有些含有条件的二次根式的求值问题，根据题目的特征，既要对条件作适当的变形，又要对结论作适当的变形，“双管齐下”，可以使解答简便得多。

　　例11  已知 ，求 的值。

　　【方法导引】

　　先把条件化简：

　　 　　①

　　如果把①代入 ，当然也是可以的，但计算量稍微大一点，不如再作一些变形。

　　

　　∴ 　　②

　　从条件看，由①，得 　　③

　　把条件变形成③之后，再代入②中，得

　　

　　【解后评注】  把条件变为①式，再变为③式，把结论变为②式，再把③代入②式，问题获得解决，这样做比较简便，这就是同时改变条件与结论的方法。

　　例12  已知 ，求 的值。

　　解：先化简条件得

　　 　　　①

　　又

　　　

　　　 　　　②

　　由①，得 　　　　③

　　由已知 　　④

　　把③与④代入②，得

　　

　　例13  已知 ，并且 ，试化简 。

　　【方法导引】  用“直接代入法”化简是很麻烦的，可采用“变形代入法”，变什么？先化简结论试试，有

　　

　　　

　　　 　　　①

　　如果这时把条件 代入①中，化简工作仍然比较麻烦，因此暂不代入，继续变形，先变①，由①可得

　　

　　　 （注意条件 ）

　　　 　　　②

　　如果由条件可以得到 的值，则②可以得到最简结果，这一点并不难办到，请看

　　由 及 ，得 　　③

　　把③代入②，得

　　

　　　

　　　

　　　

　　　 　　　④

　　【方法导引】  为化简 ，需要讨论 与1哪个大。已知条件中仅给出 ，并不能断定 ，或者 ，因此对于④要采用“分类讨论法”。

　　（1）当 时 ，由④，得

　　

　　（2）当 时， ，由④得

　　

　　综合（1）与（2）中的结论，我们得到

　　

　　下面用同时变条件与结论的方法再做一遍前面的例7，题目是：

　　已知： ，求 的值。

　　【方法导引】  先变条件。

　　∵

　　∴

　　　　　

　　∴

　　再变结论：

　　 （分母、分子同时乘以2）

　　

　　

　　上面的解法要比原来的解法简便多了，这充分说明，有的较为复杂的题目，同时变条件与结论，会给解题带来好处。

　　最后再研究一个题目。

　　例14 已知，求的值，先化简条件，再代入求值。

　　【方法导引一】  ∵ （这一步不易想到）

　　

　　∴

　　∴ （这一条也可以直接由已知得到）

　　将上述x与 的值代入结论中，得

　　

　　 （这一步也不容易想到）

　　

　　

　　

　　【方法导引二】  同时变换（简化）条件与结论

　　先变换条件，由已知，得 　　①

　　设 ，则

　　 ，　②

　　再把①代入②，得

　　

　　　 。由上得到

　　

　　上面给出的两种解法中，方法一是将条件变形（有难度！）后代入结论中，再化简求值（也有难度！）解法二是将结论变形（将待化简的式子平方——这样的处理方法在今后的学习中还会碰到），再将条件（略作变形）代入平方式中，化简工作比较通畅，相对而言，两种解法以第二种解法较好。

　　实战能力测试

　　1．已知 ，求 的值。

　　2．已知 ，求 的值。

　　3．已知 ，求 的值。

　　4．已知 ，求 的值。

　　5．已知 ，求 的值。

　　6．设 ，并且 ，试化简 。

　　7．已知 ，求 的值。

　　8．设 ，求 的值。

　　9．已知 ，求 的值。

　　10．已知 ，求 的值。

　　11．已知 ，求 的值。

　　12．设 ，求 的值。

　　参考答案

　　1．

　　2． 。可直接代入，也可以把 变为 再代入。

　　3．2 。

　　4．

　　

　　5．由已知，得 ，所以 ，把 的值代入求值：

　　

　　6．

　　又 ，

　　∴当 时，有 ，此时

　　

　　当 时，有 ，此时

　　 。综上可以得到

　　

　　7． 。

　　8．

　　 。

　　9．

　　∴

　　或者

　　

　　

　　

　　10． ，所以 。

　　又

　　∴

　　11．

　　

　　又

　　∴

　　12．可仿照例7解，答案为2。

　　

怎样理解 和

　　当化简含有 和 的式子时，必须正确理解和应用二次根式的两个重要公式．

　　公式一：

　　　　　

　　公式二：

　　　　　

　　公式一要认清 是 是算术平方根，因此， ，左边 的运算顺序是先求 的算术平方根，再取平方．

　　公式二要认清 是 （非负数）的算术平方根，因此 可以取任意实数，左边 的运算顺序是：先平方再开方取算术平方根，所以 是一个非负实数，为了正确地表达 不能是负数，所以结果用 表示．

　　【例1】式子 与 比较，正确的结论是（　）

　　A．

　　B． （ 时成立）

　　C．当 为正数时

　　D．当 为有理数时

　　【解】∵ ，只有在 的条件下成立，而 ．欲使 ，只有 ，等式才成立，所以应选Ｂ．

　　【例2】下列等式是否成立？为什么？

　　（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） （ ）

　　【解】（1）根据公式 （ ）

　　∵ ，∴ 等式成立

　　（2）∵ ，不符合公式 （ ）的条件，所以不成立，也可以说： 是无意义的式子，所以等式不成立．

　　（3）根据公式

　　∴ ．故等式成立

　　（4）根据公式 ，故等式不成立．

　　（5）∵ ，∴ 成立

　　（6）∵

　　∴ 不成立，也可以说：

　　∵ 而 ，∴等式不成立．

　　（7）由公式 （ ）反之，只有一个非负数才能写成这个数的算术平方根的平方，即只有当 时， ，∴ 不一定成立．

　　（8）∵ ，∴ ，当 时，有

　　   ∴ （ 时成立）

　　【解后评注】通过上面两个例题注意应用公式一， 的条件是 ，而公式二 的条件 是任意实数，但这两个公式的结果都是非负数．

　　【例3】填空：

　　（1） 中， 的取值范围是___________；

　　（2） ， 的取值范围是___________；

　　（3） ， 的取值范围是___________；

　　（4） ， 的取值范围是___________；

　　（5） ， 的取值范围是___________．

　　【解】（1）∵不论 取任何实数， ，所以 可取任何实数，

　　（2）∵ （ ）∴式中的 相当于公式中的 ，应有 ，因此，

　　（3）解法1：∵ 中 ，∴ ，而 的结果必是非负数，∴ ，由此可得

　　解法2：当 时，有 而已知

　　∴ ，由此可得 ．

　　（4）∵ ，∴ ．故 的取值范围是

　　（5）∵ ，∴ ，故 的取值范围是 ．

　　【例4】化简下列各式

　　（1） （ ）；（2） （ ）

　　（3） ；（4）

　　（5） ；

　　（6）

　　【解】（1）当 时， ，因此

　　 ．

　　（2）当 时， ，所以

　　

　　（3）∵ ，

　　∴ ，

　　因此：

　　

　　（4）∵

　　同样 而 ，

　　∴

　　

　　（5）∵

　　∴ ， ， ，

　　因此：

　　

　　

　　【方法导引】（6）

　　

　　应在全体实数范围内讨论，且 的“零点”是“ ”， 的“零点”是“ ”，所以－1和3把数轴分为

　　 ， ， 三个区间进行讨论．

　　

　　

　　当 时，原式

　　当 时，原式

　　当 时，原式

　　综合以上结果可得：

　　

　　【例5】已知 ，化简．

　　

　　【解】∵ ，∴

　　∵ ，

　　∴

　　∴ ， ，

　　于是原式

　　

　　【解后评注】上面几个例子帮助我们正确而深刻地理解二次根式的两个重要公式的应用，尤其是 时应转化为绝对值问题，即 这样就把求算术根的问题转化为我们熟悉的求绝对值问题．

　　【例6】在实数范围内因式分解

　　（1） ；（2） ；（3）

　　【方法导引】由公式一， ，反之，可得当 时，

　　【解】（1）

　　（2）

　　（3）∵ ，∴

　　∴ ，于是

　　

　　【解后评注】对于公式 的逆用，不要忘记条件 ，即只有一个非负数才能写成它的算术平方根的平方形式．

　　【例7】把下面各式中根号外的因式适当改变后，移到根号内．

　　（1） 　（2） 　（3） （ ， ）

　　（4） 　（5）

　　【方法导引】由公式 逆用： ，即只有非负数才能平方后进入根号内

　　【解】（1）

　　（2）

　　（3） （ ， ）

　　∵ ，∴ ， ，于是

　　

　　（4）由二次根式定义可知： ，∴

　　则 ，

　　∴

　　

　　（5）由二次根式的意义， ， ，

　　∴ ，∴

　　

　　【解后评注】对于公式 的逆用，注意它的结果是非负数，所以 ，即只有非负数才能由根号外因数或因式平方后移到根号内．