第一节 二次根式

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“二次根式”教材分析和教案设计

林昌贵

　　一、教材分析

　　新教材打破了旧教材从定义出发，由理论到理论，按部就班的旧格局，创造出从实践到理论再回到实践，由浅入深，符合认知结构的新模式。其主要的特点和优点有：

　　（一）以四则运算贯穿全章的始末，使教学有明确的主攻方向。

　　新教材一改旧教材中概念性质与运算脱节的陈规，以运算为主线进行编排。对于概念性质则根据它们在运算中所起的作用，穿插介绍，有机地与运算结合。这样，在教学过程中学生能清楚地认识到，为了解决实际问题必须学习根式运算；为了探求根式运算法则就必须研究根式的概念和性质。由于学生的学习目的性明确，一开始就带着问题以极大的热情投入学习。从上章算术平方根的概念出发，很快地掌握了二次根式的意义和基本性质。紧接着把这些基本性质用到二次根式乘除中去，并且解决了实际问题。接着教师又提出新的问题，引导学生研究二次根式的化简和加减运算。这样，一环扣一环，研究一个个运算，解决一个个实际问题，突破一个个难点，最后成功地完成全章的教学任务。

　　（二）先乘除后加减，由易到难，由简到繁编排教材，符合学生的认识心理。

　　旧教材先讲二次根式的加减法，后讲二次根式的乘除法。因为要掌握加减法，就得先研究根式的化简，而根式的化简实际上可以通过根式的乘除来实现，可是乘除法未学，不能超前使用这个工具，只好一个个地从定义出发来化简，这样增加了运算的难度。新教材克服了旧教材的弊端，先介绍乘除法后介绍加减法，而乘除法比加减法容易学，这样由浅入深，循序渐进地学习，困难不大。在化简根式时，除了从定义出发外，还可以运用除法。知识是一种越用越多的财富。运用乘除法来化简根式，不仅可以复习巩固乘除法则，而且增加了化简根式的工具。乘除的基础打好了，又增添了化简根式的工具，因而根式加减的困难也就迎刃而解了。

　　二、教学方法

　　如果把教材比做一张蓝图，那么编者就是这幅蓝图的总设计师，而教师便是忠实的施工员。首先，施工员要领会设计师的匠心和设计意图，忠实地按图施工。其次，施工员在施工过程中，要发挥自己的聪明才智，创造性地完成任务。再次，要不断地发现新问题，在不影响总体设计的情况下，及时地进行局部调整。同样的道理，教师在实施教学过程也应注意以下三个问题。

　　（一）吃透教材。

　　深入钻研教材，切实领会编者的巧妙构思，挖掘教材的优点和特点以及新旧教材的差别，并且在教学中加以实施。

　　（二）精心设计教案，发挥自己的主观能动性。

　　根据学生的实际情况，精心设计，精心安排。在教学中以问题为中心，不断地提出问题，激发学生的学习动机；深刻地分析问题，带领学生寻找解决问题的办法；及时地总结规律，把所获得的新知识并入原有的知识系统；加强变式训练，纠正学生概念和运算中的错误。

　　（三）及时地发现问题，不断地调整自己的教学方案。

　　本章的主线是运算，为了突出这条主线，故在章头图长方形的基础上适当地增加根式的运算的实例，作为新课的引入和研究问题的中心。具体的教学方案叙述如下：

　　（一）根式的乘法

　　1.提出问题。

　　学校决定在每一间教室前面的长方形空地上都种植草皮。按国家教委和国家基建委规定的标准，中学每间教室的使用面积为54平方米。假定教室是正方形的，那么教室的每边长则为 米，也就是说长方形空地长为 米。如果空地的宽为 米，问铺满一块长方形空地，需要购买多少平方米的草皮？

　　（注：前一章已经学习了无理数，后一章将学习二次根式。因此以 和 作为边长进行计算既能起到承上起下的作用，又能联系生活实际）

　　因为长方形的面积等于长×宽，所以草坪的面积为 。

　　我们查表计算 和 的值，然后再相乘，虽然可以得到草场的面积，但是计算繁琐，又不能得到准确值。如果手边没有数学用表和计算器，就无法进行计算。因此，必须另想其他计算办法。要想不查表又能算出草坪面积的准确值，就必须研究二次根式54和6的乘法法则。

　　2.分析问题。

　　（1）有意义的式子才能进行运算，所以在研究二次根式的运算之前先得研究，当a为何实数时二次根式 有意义。

　　我们知道，在实数范围内，负数没有平方根，要使上式有意义，被开方数只能是正数或0，也就是说被开方数是非负数的。故得：

　　性质1：非负数的算术平方根是非负数。即当 。

　　（2） 与有理数6的差别就在于多一个根号，如果能找到一种打开根号的运算，那么就有可能借助于有理数的运算法则来进行二次根式的运算。

　　因为 是表示平方等于6的正数，把这句话用式子表示为 。

　　可见我们可以用平方的办法去掉括号。

　　一般地，

　　由上式得：

　　性质2：一个非负数平方根的平方等于它的本身。

　　在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数，因而平方和开方都互为逆运算。

　　

　　

　　由上式得：

　　3.解决问题。

　　乘法法则：

　　算术平方根的积，等于各个被开方数积的算术平方根。

　　由乘法法则得：

　　

　　答：购买18平方米的草苗恰好能铺满一块空地。

　　全校各间教室前面的空地都种上草皮，就使得往日尘土飞扬的黄土地换上绿色的新装，那无数支嫩绿和新芽，不断地吐出氧气，让同学们在美丽的校园里，呼吸着新鲜的空气更加精力充沛地为祖国而学习。

　　注：当问题解决之后，同学们都沉浸在成功的喜悦之中，此时此刻，教师借题发挥作简短有力的议论，既能体现数学的美，激发学生的学习积极性，又能给学生以生动的思想教育。

　　4.并入知识系统。

　　只要把性质3中的“算术平方根”五个字换成“平方”二个字，便是乘方法则；同时，把二次根式乘法法则中的“算术平方根”换成“平方”，把“被开方数”换成“底数”，就是乘方法则的逆用。可见二次根式的性质和乘法法则都可以纳入乘方的知识系统。

　　5.变式训练。

　　通过正反面典型实例来加深巩固二次根式的概念和运算法则的理解和掌握。

　　

　　注：利用性质3化简根式时，应把被开方数中能开得尽方的因式（或因数）都开出来。

　　

　　注：因为性质3只适用于被开方数是乘积的情形，不适用于加减的情形。

　　

　　

　　注：这里实际上是将有理数乘法的交换律和结合律推广到实数范围。因而二次根式相乘时可以在根号外把因式相乘，同时在根号内把被开方数相乘，二次根式不变。

　　（二）根式的除法

　　1.提出问题。

　　草坪的长是宽的多少倍呢？要解决这个问题就必须研究二次根式的除法。

　　

　　2.分析问题。

　　仿照乘法法则的推导办法，由乘方法则和性质得

　　

　　由⑥得：

　　除法法则：两个算术平方根的商，等于它们的被开方数商的算术平方根。

　　把长除以宽得：

　　

　　答：草坪的长恰好是宽的3倍。

　　4.并入系统。

　　把⑥式反过来得：

　　

　　也就是说，两个非负数商（其中分母不为零）的算术平方根，等于他们算术平方根的商。只要把“算术平方根”五个字改成“平方”二个字便是乘方法则，可见二次根式的乘除法则都可以并入乘方的知识系统。

　　5.变式训练。

　　两个根式相除时先写成分式，并化去分母中的根号。把分母的根号化去，称做分母有理化。

　　例1 计算

　　

　　

　　例2计算

　　

　　

　　然后再把分母有理化。

　　

　　（三）根式的加减法

　　1.提出问题。

　　为了保护草坪，就得用篱笆把四周围起来。要做到合理用料，就得计算每块长方形空地的周长是多少米？长比宽大多少米？依题意得

　　

　　要解决这两个问题，就必须研究二次根式的加减法。

　　2.分析问题。

　　回顾整式加减的实质就是“合并同类项”。同类项是字母相同，并且字母的指数也相同的项。同样的道理，我们也把被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，与同类项一样同类二次根式也可以进行合并。但是，在整式中同类项一目了然，而同类根式却不容易认别。例如：

　　

　　乍看起来被开方数不同，但它们却是同类二次根式，因为化简后被开方数都相同。

　　

　　上式化简后都具有两个特点：

　　（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；

　　（2）被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。

　　凡具有以上两个特点的根式称为最简二次根式。

　　3.解决问题。

　　答：每块草坪周长为86米，长比宽大26米。

　　从上面可以得出二次根式的加减法则：

　　（1）最简二次根式的加减，只要合并同类二次根式；

　　（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应先化简，而后合并同类二次根式。

　　4.并入知识系统。

　　当二次根式化成最简二次根式后，加减运算与整式中同

　　类项合并相同。只要把它们的系数相加减，同类项（或同类二次根式）不变。

　　5.变式训练。（略）

　　

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谈二次根式的教学

　　本章是初中代数第二册的最后一章，前一章“数的开方”引出了实数与无理数的概念，本章则借助二次根式，重点阐述有关实数与无理数运算的知识。紧接本章之后，初三代数第一章，就是以本章为基础的“一元二次方程”。

　　实施“二次根式”的教学，首先，要把握好本章的学习重点，处理好二次根式的概念、性质、运算的关系；其次，要科学地安排训练的内容，提高训练的效益，以更好地培养学生的运算能力。

　　一、处理好概念、性质、运算的关系

　　本章的基本内容是二次根式的概念、性质和运算，其中重点是二次根式的化简与运算，二次根式的概念是化简与运算的基础，二次根式的性质是化简与运算的依据。

　　关于二次根式的内容，以往的教材基本上是先讲概念，再讲性质，最后讲运算，其中，运算部分是按加减——乘法——除法的顺序讲述的。

　　为了突出二次根式的化简与运算这个重点，现行教科书则是以运算为主线，进行内容的组织、编排的；并且，从便于学生接受考虑，运算又是由简到繁，由易到难，依乘法——除法——加减排序的。具体看，教科书在第一小节给出基本概念之后，立刻就转入化简运算的内容，而将与化简运算有关的概念、性质，同运算有机地结合起来，加以讲授。例如，二次根式有以下性质：

　　

　　教科书中不是单独讲解这三个性质，而是先结合二次根式的乘法介绍性质②，又结合二次根式的除法介绍性质③，最后结合二次根式的混合运算介绍性质①。

　　前面提到的以往教材的编排，是侧重学习材料的逻辑（论理）顺序的，理论性比较强；现行教科书则是采用的比较重视学生学习的心理顺序的编排，便于学生对于具体材料的学习与掌握。考虑到现行教科书的编排在体现知识系统性方面的不足，教材在章末的小结与复习中，对全章内容进行了逻辑整理，以使学生系统地了解二次根式的知识。

　　明确了二次根式的概念、性质和运算三者在本章中的地位与它们之间的关系，就可以较好地把握它们在教学要求上的区别了。

　　二次根式的运算是本章的重点，相应的教学要求是能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除运算，能熟练地将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。二次根式的性质是运算的依据，相应的教学要求是掌握二次根式的有关性质及运算法则。二次根式的概念是运算的基础，相应的教学要求是了解二次根式及有关概念。

　　在实际教学中，如何对教学成果进行评估呢？关键看学生运算的熟练程度，其中，又以二次根式的混合运算为重。至于对二次根式性质的掌握，对二次根式概念的了解，都可以通过对运算的掌握加以判断和检测。

　　二、提高技能训练的效益

　　首先，要明确训练的目的。

　　对于二次根式这一章，训练的目的主要是培养学生进行二次根式运算的基本技能，了解与运算有关的基础知识，从而发展学生的能力。

　　其次，对训练内容的选取要科学，深度、广度要适当。

　　从本章的训练目的出发，在训练内容的选择上，一是以常用运算为主，不必专门在概念、性质上下大功夫；二是以基本技能为主，而不追求繁难式子化简、运算的特殊技巧。

　　例如，在课堂上，像判断某式是不是二次根式，求某式的有理化因式一类的练习，时有所见。做这样的练习，就可能导致有些学生以至教师提出下面的问题。

　　 是不是二次根式？

　　 是不是 的有理化因式？

　　又如，像化简 这样的题目，就不属于基本技能训练的范围了。

　　第三，要改进训练方法。

　　在实施二次根式运算的训练时，要从有理数、有理式运算与二次根式运算的区别、联系上入手，抓住学生问题的症结，培养学生独立学习、思考和解决问题的能力。

　　总之，弄清训练目的，选准训练内容，搞活训练方法，才能减轻学生负担，提高教学质量与教学效益。

　　除了上面谈到的问题，在进行二次根式的教学时，还应该注意与几何课的联系。

　　在前一章“数的开方”中，是利用几何里学习的“勾股定理”引入实数概念的，而在本章，从开始的章头图及序言，到二次根式的运算，都结合了“勾股定理”的应用。借助于几何上的应用，可以帮助学生认识学习二次根式的目的，增加学习兴趣，同时，也复习、巩固了几何的相关知识。

　　在处理与几何的关系时，有一个教学进度的问题，比较适宜的方案是先学习代数“数的开方”中的平方根的初步知识，然后是几何“三角形”中的勾股定理，再学习实数与二次根式的有关知识。由于五天工作日等原因，在教学时，教师需结合实际情况灵活处置。

　　从教学改革看，在完成基本的教学目标的前提下，还需要考虑一些深层次的问题。一方面，科学技术特别是计算机技术的发展日新月异，另一方面，基础教育还应该具有一定的超前性，面对这样的形势，适当调整、精简传统的二次根式的教学内容，就显得十分必要了。（袁明德）