第十节 基本作图　

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尺规作图的意义

　　初等几何中，所接触到的问题主要有两类：一类是先假设给出合乎一定条件的图形，然后研究这个图形有些什么性质，证明题、计算题即属于这一类；另一类是预先给出一些条件，要求作出具备这些条件的图形，这便是作图题.按照一定方法作出所求图形的过程，叫做解作图题.作图的方法，自然是和作图的工具有关的.古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465年)提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它总结在《几何原本》一书中.于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律.

　　其实，作图工具的这种限制并非个别人的癖好和主观旨意，主要有下面两方面的原因.

　　1.和研究的对象有关，因为初等平面几何研究的对象，只限于直线、圆以及由它们(或其一部分)所组成的图形.有了直尺和圆规这两种作图工具，直线和圆都已可作出，自然无需再增加别的工具.

　　2.和公理系统有关.在欧几里得几何中，从最少的基本假设(定义、公理、公设)出发，通过逻辑推理，得出尽可能多的命题，这里，关于作图题的结论是和几何证明、几何计算的结论相当的，欧几里得公理系统里的几条公设也就决定了只能是限用尺规作图.并且，凡能作出的图形都在欧几里得几何里加以研究；凡研究其性质的图形也必可用尺规来作出.

　　确定了作图工具后，还要明确允许怎样使用这两种工具.就是说，直尺和圆规具有什么功能？为此，在平面几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成如下几个认可的简单作图：

　　1°通过两个已知点可以作一条直线(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)；

　　2°以一个已知点为圆心，以某一已知距离为半径，可以作一个圆(欧几里得几何公理系统中的五条公设之一)；

　　3°两已知直线，一已知直线和一已知圆，或两已知圆，如其相交，可确定其交点.

　　此外还附加一个规约：在已知直线上或直线外，已知圆周上或圆内(外)，均可任意取点，但所取的点不得附加其余任何特殊性质.

　　上面1°—3°条叫做作图公法，用以指明尺规作图的可能范围.

　　所谓利用直尺和圆规来完成一个作图题，就是指上述作图公法所确定的三种简单作图的有限次的组合.

　　能有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图，从而最终可以得到给定条件的图形，这一类作图题称为尺规作图可能问题.反之，凡有限次地进行作图公法所确定的三种简单作图肯定不能得到给定条件的图形，这一类作图题就称尺规作图不能问题.

　　下面通过几个例子，从正、反两个方面来加深理解尺规作图的意义.

　　[例1] 已知∠AOB，求作射线OS，使∠AOS=∠SOB.

　　 OA于点D，交OB于点E(公法3°).

　　 ，此两条弧相交于点S(公法3°).

　　3)作射线OS(公法1°)。

　　则OS就是所求的射线.

　　例1的上述作图过程，实质上可以分解为作图公法2°，3°，3°，2°，3°，1°的有限次组合.

　　不仅例1是这样，任何一个尺规作图可能问题，都应能分解为作图公法1°—3°的有限次的组合.

　　［例2] 已知∠AOB，求作射线OS，使

　　作法一 古希腊物理学家兼数学家阿基米德(Archimedes，公元前287—212年)的著作中，记载了三等分一个已知角的方法如下：

　　1)以点O为圆心，取任意长r为半径作圆，与OA所在直线相交于两点D、D₁，与OB相交于点C.

　　2)在直尺一边上划上E、F两点，使EF=r，然后绕点C滑动直尺的位置，使直尺上E、F两点分别落在半圆和AO的延长线上，在此位置上作直线CEF.

　　3)过O作OS∥CEF.

　　则OS即为所求之三等分角线.

　　法.上述作法中的第二步，不能归结为作图公法里规定的三种作图中的任一种.实质上，这是使直尺具有了刻度的功能，与尺规作图中的直尺无任何刻度不符.

　　再介绍一种三等分任意角的方法，研究其是否符合尺规作图公法.

　　作法二 作一个角的平分线，这是一个尺规作图可能问题(见例1).因而可用尺规把一个已知角四等分，八等分，十六等分，……，2ⁿ等分(n是正整数).

　　
比数列的求和公式，有
　　
　　 　

　　在这个作图过程中，虽然作一个角的平分线和作一个角使它等于已知两角的和或差，都是尺规作图可能问题，但是毛病出在直尺和圆规按照作图公法使用

　　了无限多次，这也不符合尺规作图的要求.

　　[例3］设已知立方体的棱长为a，求作一立方体，使其体积为原立方体的二倍.

　　设所求立方体棱长为x.按条件，则有x³=2a³，即
　　
　　2)延长AC至D，使CD=a；

　　3)过点A作一直线，与直线CB、DB分别交于E、F，且使EF=a；

　　

　　证明 在△ACE中，应用梅内劳斯(Menelaus)定理，得

　　　
　　
　　　
　　以点A为圆心，以a为半径作一圆，与直线AE交于点G、H.由切割线定理，有

　　　EB·EC=EG·EH
　　得
　　　

　　即
　　　
　　 　

　　可见EB确实是所要求作的立方体的棱长.但是，作图的第3步中使直尺具有了刻度的功能.事实上，作法3)是这样来实现的：在直尺一边上划上E、F两点，使EF=a，然后绕点A滑动直尺的位置，使直尺上E、F两点分别落在CB、DB上，在此位置上才作出直线AFE.这一作图过程是不能归结为作图公法所规定的三种简单作图，事实上是使直尺具有了刻度的功能，因而上述作法不合尺规作图的要求.

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