第七节 可化为一元一次方程的分式方程　

扩展资料

让学生“做数学”

──如何在初二级开展几何画板活动课

　　一 问题提出的背景

　　2001年6月教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中要求“一切有条件和能够创造条件的学校，都应使计算机，多媒体，互联网等信息技术成为数学课程的资源”，要“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的，探索性的数学活动中去。”可见，开展几何画板活动课，让学生动手“做数学”符合新的课程标准的要求。

　　自从《几何画板》软件在全国范围内推广以来，不少数学教师不仅自己使用它进行课堂演示型的教学，而且开始在学生中推广使用。例如，南京师大附中的陶维林老师在高一学生中开设了几何画板选修课，沈阳东北育才学校的邱发文老师，北京知春里中学曹致辉老师等也进行了相应的探索，都取得了良好的效果。

　　基于以上原因，我们在华南师范大学附中试行开设了几何画板活动课，指导学生动手“做数学”。通过一段时间的教学实践与探索，取得了一些经验和体会，并提出了开展几何画板活动课的设计原则，与大家商讨。

　　二 几何画板活动课的设计原则

　　作为一种实验性的工作，几何画板活动课的开展并没有现成的模式可以套用。必须要解决的问题是：几何画板活动课要教给学生什么东西？如何教？最终要达到一个什么目标？

　　1 选择符合学生实际情况的内容

　　对于刚刚进入初中二年级的学生，一方面，他们已经具备了一些初步的几何知识和计算机的基本操作能力，懂得如何使用常用的办公软件；但另一方面，他们在几何方面的知识又不够丰富。因此，可以教给他们一些基本的操作方法，在已有知识的基础之上，按照课本的进度（或适当超前）设计一些适宜于学生探索的问题。由于现有参考书要么内容不适合初二学生使用，要么只重技巧而不重探索，因而都不太理想。在这种情况之下，我们自编讲义，参考了一些操作性的书籍，并查阅了相关资料，找到一些符合学生的认知水平，且适合于用几何画板探索的问题。例如，我们把勾股定理的证明方法让学生来探索，学生很有兴趣，又如我们让学生来探索中点四边形的规律，也极大的调动了学生的学习积极性。

　　2 让学生自己操作与实验，注意动作技能的教学

　　我们认为，对于操作性的技能，在教学之初，很有必要让学生一步一步跟着学。因此，在基本操作部分，我们非常详尽地阐述如何作图。例如，如何作出一个角平分线，如何作出一条线段的垂直平分线等，这些内容虽然简单，但它是学生后续学习的最基本的前提，应该保证每个学生都学会；而对于应该由学生自己探索的问题，例如，寻找什么三角形有“三线合一”的性质，什么三角形有“四心合一”的性质，类似这样的问题，则放手让学生去探索，有困难的个别指导，不追求统一。

　　3充分利用几何画板的优势，突破传统教学模式的局限性

　　对于数学教学中的某些问题，有些过程利用传统的“粉笔+黑板”的方式很难或无法实现，我们在几何画板活动课中从新的角度重新加以分析。

　　例1 探索等腰三角形“三线合一”性质.

　　传统的做法是：先作其中一条线段，通过证明三角形全等关系而说明另两条线段与已作的线段就是同一条线段，从而说明“三线合一”。这种做法虽然学生也能接受，但是缺乏直观性：明明是一条线段，怎么说是三条线段？在活动课中，我们引导学生利用几何画板软件，先作任意一个△ABC，分别作出∠BAC的平分线AF，BC边上的中线AE，高AD，此时，三条线段清楚的展现在学生面前。由学生自己移动A点，观察AD，AE，AF的变化规律。学生发现：当AB=AC时，D、E、F三点重合，从而AD、AE、AF三线重合。直观明了，自我操作的过程给学生留下深刻的印象。

　　利用几何画板，对某些利用传统方法解决起来比较困难的问题作出分析。例如，以下的问题，对于一般学生来说是相当困难的，但通过几何画板，学生比较容易的找到了问题的解答。

　　例2 设P为正△ABC内一点，由P向三边BC、CA、AB所作垂线分别为PD、PE、PF；

　　问：(1)当P在什么位置时，满足PD=PE+PF；

　　(2)若P为正△ABC外一点，P在什么位置满足PD=|PE-PF|

　　有学生是这样解决这个问题的：先把问题特殊化，把P点移动到与F点重合的位置，此时PF=0，则问题(1)马上转化为P点在AC上什么位置时，PD=PE？而这个问题可以由等边三角形的性质和角平分线的性质马上作出判断：当P点在AC中点位置时，符合条件；类似地，把P点移到与E点重合的位置，又可找到当P点与AB的中点重合时，也符合条件。是否只有这两个位置符合条件？在教师的启发下，学生很快发现当P点在连结AB与AC的中点的线段上时，也符合条件，因而从实验的方法上找到了问题的解答，利用类似的办法找到题(2)的答案，课后再想办法利用已有的知识来证明了这个问题。

　　4 鼓励学生在探索中的发现

　　我们认为，利用网络环境进行交互式教学，让学生自己动手“做数学”，能够极好的培养学生的创造力，挖掘他们各自的潜能。

　　例3 探索四边形内角和定理

　　“四边形内角和为360° ”，这对于教师来说似乎是想当然的结论。然而，几何画板活动课中，就有同学“推翻”了它 。仔细检查，发现产生问题的根源在于四边形的概念上。通常，我们都默认四边形是指凸四边形，很少考虑非凸四边形的情况。然而，在活动课中，这位同学却作出了一个非凸四边形，但他仍然按照度量凸四边形的方法度量这个非凸四边形，因此得到了不同的结论。此时，我们不是简单的告诉学生结论是错的，而是启发学生寻找产生问题的根源，让它明白非凸四边形的内角和仍是360°，只是由于他采用了度量凸四边形的方法去度量非凸四边形，因而得到了不同的结论。这就启发我们，一方面，我们要鼓励学生在探索当中的发现，充分开发他们的创造潜能；另一方面，教师在讲解一个问题的时候，一定要从学生的认知水平出发，而不应该从教师本身的认知水平出发，只有这样才能更好的把握学生的思维。

　　几何画板活动课不仅是要让学生掌握这一软件的使用，更重要的是，它使得学生通过参加这一活动课，体会到“做数学”的思想，通过自己的亲身实践，找到问题的解决方法，并在问题解决过程中理解和掌握抽象的概念和原理，获得真正的数学经验。

　　三 开展几何画板活动课的几点建议

　　1 起始年级与内容的选择

　　建议从初二开始开设几何画板活动课，理由是：① 初二学生具备一定的计算机操作能力和基本的几何知识，这为开展几何画板活动课提供了一个必要的前提条件（而在初一学生中开展就不具备这一条件）；② 平面几何中许多问题，如几何变换，动点问题等，为活动课的开展提供了很好的题材；③ 从初二之后的各个年级都可以利用几何画板来开展教学。初三可以利用它来研究圆的有关问题和一次、二次函数的图像等内容，高一可以用来研究幂函数，指数函数，对数函数，三角函数以及立体几何有关内容，高二用它来研究平面直角坐标系上的轨迹问题有着独特的优势，而高三用它来探索一些解析几何，立体几何等综合性的问题也是行之有效的。

　　2 创造开展活动课的技术条件

　　要想把这一活动课深入开展下去，必须保证每个学生都会使用几何画板软件，而要达到这一目标并不难，完全可以利用一部分电脑课的时间（例如半个学期或一个学期）教给学生几何画板的基本知识；然后再由各年级数学教师根据各自年级的特点设计相应的问题供学生探索。

　　3 设计有探索性的课题

　　开展几何画板活动课，应该重在探索，要充分利用好它的动态展现几何对象的功能；让学生开展对部分数学命题的正确性的猜想和实验，并在此基础上进一步思考从而从理论上证明所获得的结论。

　　4 重视教师在活动课中的引导作用

　　由于在网络环境下学习，某些学生可能会趁教师不注意的时候上网浏览其它信息。针对这种情况，除了加强对学生管理之外，更重要的是要让学生真正体会到“做数学”的乐趣，把学生的注意力吸引过来；还可能出现另外一种情况，如教师给出的问题较简单，有的学生很快就完成了，而有的学生速度比较慢。针对这种情况，教师事先要设置多个层次的问题，让不同水平的学生能根据各自的能力水平去解决相应层次的问题。

　　参考文献：

　　1．《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，教育部，北京师范大学出版社
　　2．《几何画板实用范例教程》，陶维林，清华大学出版社

　　华南师范大学数学系2000届研究生(510631) 袁智强　华南师范大学附中(510630) 陈秋林

　　(原文发表于《中学数学研究》2002年第10期)

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