第十节 定理与证明

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证明的必要性

　　在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．

　　这是因为：

　　第一、直观有时会造成错觉．直观并不永远可信．

　　如在图2-39中，线段AB好像小于线段AC；图2-40中，竖线好像比横线长；图2-41中，左图中心的圆好像比右图中心的圆小；图2-42中上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉．如果用圆规，直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的．这些例子说明直观并不可靠．

　　第二、通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立．

　　第三、有时，图形的性质并不能通过测量得出．例如：两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定．

　　第四、通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究．

　　因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可．而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的．

　　（选自《初一几何》）

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