第一节 不等式和它的基本性质

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数学与折纸

　　我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．

　　纸张折出的一些数学形体

　　当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．

　　下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．

　　Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．

　　Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．

　　Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．

　　Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．

　　Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．

　　Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．

　　Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．

　　Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．

　　如右图折叠正方形纸：

　 　c²=正方形ABCD的面积．

　 　a²=正方形FBIM的面积．

　 　b²=正方形AFNO的面积．

　 　由全等形状相配得：

　 　正方形FBIM的面积=△ABK的面积．

　 　又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．

　 　这样，a²＋b²=c²

　　Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．

　　取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠

　 　a°＋ b°＋ c°＝180°——它们形成一条直线．

　　Ⅹ)通过折切线构造抛物线．

　　程序：

　　——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．

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