第六节 匀速圆周运动的实例分析

火车转弯

　　如图1所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．

　　其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图2所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力．

　　设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为 ．由图2所示力的三角形得向心力为：



　　由牛顿第二定律得：



　　所以：

　　即火车转弯的规定速度：

讨论（1）当火车行驶速率v等于规定速度 时， ，内、外轨道对轮缘都没有侧压力．

　　（2）当火车行驶速度v大于规定速度 时， ，外轨道对轮缘有侧压力．

　　（3）当火车行驶速度v小于规定速度 时， ，内轨道对轮缘有侧压力．

竖直面内的圆周运动

　　1、如图3所示，是绳子牵引下的小球在竖直面内作圆周运动，如图4所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均没有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：

　　（1）临界条件；绳子和轨道对小球没有力的作用

　　根据牛顿第二定律得   

　　即      

　　这个速度可理解为恰好转过或恰好转不过的速度．

　　（2）能过最高点的条件： （当 时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）

　　（3）不能过最高点的条件： （实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）

　　2、如图5所示，是杆子约束下的小球在竖直面内作圆周运动，如图6所示，是在轨道约束下在竖直面内作圆周运动的小球，它们的共同特点是，在运动到最高点时均有物体支承小球，下面讨论小球在竖直平面内作圆周运动通过最高点的情况：

　　 （1）临界条件： （支承物对物体的支持力等于mg）

　　（2）当 ，即 ，如图5所示支承物对物体既没有拉力也没有支持力．

　　当 ，即 ，如图5所示支承物对物体产生拉力、且拉力随v增大而增大．如图6所示，小球将脱离轨道作平抛运动，因为轨道不能对它产生拉力．

　　当 ，即 ，如图5所示支承物对物体产生支持力，且支持力随v减少而增大，范围是0~mg。

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竖直面内圆周运动的临界条件

　　在竖直平面内的圆周运动，关键是最高点的受力情况的分析．若沿法线方向的合外力满足 时，则物体能通过最高点，即能在竖直平面作圆周运动．细绳和轻杆作用下的竖直平面内的圆周运动是常见的，在细绳作用下，小球在最高点的最小合外力是mg．所以，最高点的速度至少为 ．而细杆作用下，既可提供拉力，也可提供支持力，在最高点合外力可以为零，所以通过最高点的速度只需大于零．

通过分析临界状态解决“范围类”题目

　　如图所示，细绳一端系着质量 kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围m会处于静止状态？（ ）

解析：要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：

　　当 为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对M有：

   且 

解得： rad/s．

　　当 为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时：

   且 

　　解得： rad/s

　　故所求 的范围为 ．

　　说明：分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”题目的基本思路和方法．

圆周运动中的相对运动问题

　　解某些复杂的相对运动问题时，会应用到圆周运动的知识．下面举几个小例子．

　　一、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动．在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（图2）．当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为 ，求此时竖直杆运动的速度和加速度．

　　

　　（1）取半圆柱体作为参照系．在此参照系中，P点做圆周运动，即 的方向沿着圆上P点的切线方向．根据题意， 的方向是竖直向上的．因为：

　　所以可画出矢量三角形PAB（图3），由此可知：

　　（2）在半圆柱体参照系中，P点的加速度由切向加速度 和法向加速度 构成，即：

　　其中

　　由相对运动公式，可知

                      ①

　　①式的矢量图如图4所示。

　　

　　将①式中的各矢量向 方向上投影，可得



　　　　

　　二、如图5（a）所示，某人以常速率v拉动绳的一端，绳的另一端A系着一只小船，已知人离水面高度为h，试求当绳与水面倾角 为30°时，小船的速度和加速度。

　　（1）如图（b）所示， 与 分别为A点相对于O点的切向速度和法向速度。

　　且：

　　又因为绳AO不可伸长

　　有：

　　即：

　　（2）A点相对O点的加速度可能由两个方面产生。

　　①绳AO以O点为轴转动，A点相对O点有切向速度，为 ，其相对O点产生一法向加速度 ，且 。

　　②在沿绳方向上，绳相对O点缩短，则A点可能产生一个AO方向的加速度 。而本题中，A点在AO方向上相对O点的速度 是一定值，所以 。A点相对O点的法向加速度：



　　　　

　　三、有一只狐狸以不变速率 沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率 追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在D处， ，且 （图6），试求此时刻猎犬加速度的大小。

　　猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断变化。在所求时刻之后的一段很短的时间 内，猎犬运动轨迹的曲率半径为 ，则其向心加速度：

　　如图7所示，在 时间内，狐狸和猎犬分别到达了 和 处，猎犬的运动方向转过的角度：

　　

　　因为 很小，所以狐狸运动的距离：



　　因此：



　　所以：