第五节 复数的乘法与除法

　　解法1：原式

　　解法2：原式

　　小结：一定要熟记 ， ， ， 等。

　　例2 复数 等于（    ）

　　A．     B．     C．     D．

　　分析： 可利用

 与 形式非常接近，可考虑 ，利用 的性质去简化计算．

　　解：

　　　　　            

　　　　　　       

　　∴ 应选B．

　　注意：要记住1的立方根，1， ， ，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益．

　　例３ 求

　　分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模．

　　解法1：原式

　　　　           

　　　　           

　　　　           

　　分析2：积或商的模可利用模的性质 ， （ ）进行运算．

　　解法2：原式

　　　　           

　　　　           

　　小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好．解此类问题应选用后种解法．

　　例4 已知 是纯虚数，求 在复平面内对应点的轨迹．

　　分析：利用Z为纯虚数 来解．

　　解法2：∵ 是纯虚数，

　　∴ （且 ， ）

　　∴ ，

　　∴



　　设 （ ）

　　则 （ ）

　　∴ 的对应点的轨迹以（ ，0）为圆心， 为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）．

　　例５ 设 为复数， ，那么（    ）

　　A． {纯虚数}        B． {实数}

　　C．{实数} {复数}  D． {虚数}

　　解：∵ ，即 ，

　　∴ ，故 ，或

　　所以 为实数．

　　∴ 应选B．

　　小结：在复数集中，要证复数 为实数，只须证 我们有如下结论．复数 为实数的充要条件是

　　例６ 若 ， ，试求

　　解：∵ ，

　　∴

　　又知 ，

　　∴

　　设 （ ），则 ，

　　∴

　　即 ，

　　由复数相等定义 解得

　　∴

　　故

　　小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好．

　　设 （ ）的共轭复数为 ，
　　则： ； ；

 ； ； ；

 ； （ ）； （ ）

　　例７ （1）已知 ， ，
　　　　　　　求证：

　　　　（2）已知 ， ，且

　　　　　　　求证： ， 中至少有一个是1．

　　证明：（1）

       　　　　　

      　　　　　

       　　　　　

　　∴

　　（2）∵ ，∴





　　即

　　变形为 ，

 或 ，可得 ，或 ，

　　∴ ， 中至少有一个是1．