第四节 二项式定理

典型例题

　　例1  在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．

　　分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

　　解：二项式的展开式的通项公式为：

　　

　　前三项的

　　得系数为： ，

　　由已知： ，

　　∴

　　通项公式为

　　为有理项，故 是4的倍数，

　　∴

　　依次得到有理项为 ．

　　说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地， 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17项．

　　例2  求 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．

　　分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．

　　解：展开式的通项公式为：

　　系数的绝对值为 ，记为 ．

　　用前后两项系数的绝对值作商得：

　　

　　令   得：   即 、1、2时，上述不等式成立．

　　所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小．

　　系数绝对值最大的项为第4项， ．

　　从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，

　　

　　所以，系数最大的项为第5项， ．

　　例3  已知 ，求：（1） ；（2） ；（3） ．

　　分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．

　　解：（1）取 可得 ，

　　取 得 ．

　　∴ .

　　（2）取 得 ，

　　记 ．

　　∴ ．

　　可得

　　从而 ．

　　（3）从（2）的计算已知 ．

　　说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如： 的展开式中各项的系数和为多少？可以看到 的展开式仍是多项式，令 ，即得各项系数和为 ．再比如： ，则 等于多少？本题可以由取 得到各项系数和，取 得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得 ．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如： 的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式 代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令 便得各项系数和为 ．

　　例4  （1）求 展开式中 的系数；（2）求 展开式中的常数项．

　　分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

　　解：（1） 展开式中的 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

　　用 展开式中的常数项乘以 展开式中的 项，可以得到 ；用 展开式中的一次项乘以 展开式中的 项可得到 ；用 中的 乘以 展开式中的 可得到 ；用 中的 项乘以 展开式中的 项可得到 ，合并同类项得 项为：

．

　　（2）

　　　　．

　　由 展开式的通项公式 ，可得展开式的常数项为 ．

　　说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决，请看下面的例子．

　　例5  求 展开式中 的系数．

　　分析： 不是二项式，我们可以通过 或 把它看成二项式展开．

　　解：方法一：

　　其中含 的项为 ．

　　含 项的系数为6．

　　方法二：

　　

　　其中含 的项为 ．

　　∴ 项的系数为6．

　　方法3：本题还可通过把 看成6个 相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到 ．

　　3个因式中取x，一个取 ，两个取1得到 ．

　　1个因式中取x，两个取 ，三个取1得到 ．

　　合并同类项为 ， 项的系数为6．

　　例6  求证：（1） ；

　　（2） ．

　　分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 ．

　　解：（1）

　　∴左边

　　　　　 右边．

　　（2）

　　　　　　　　．

　　∴左边

　　　　　 右边．

　　说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与 的展开式接近，但要注意：

　　

　　　　　

　　　　　

　　从而可以得到： ．

　　例7  利用二项式定理证明： 是64的倍数．

　　分析：64是8的平方，问题相当于证明 是 的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形 ，将其展开后各项含有 ，与 的倍数联系起来．

　　解：∵

　　

　　

　　

　　是64的倍数．

　　说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．