第六节 两个平面垂直的判定和性质

典型例题

　　例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

　　（１）如图1，已知 ．在 内作 于 ，在 内作 于 ．

　　（２）如图２，已知 ．作 于 ，在 内作 于 ，连结 ．

　　（３）已知 ．作 于 ， 于 ， 平面 ，连结 、 ．

　　作图与证明在此省略．

　　说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

　　例2. 如图4，在立体图形 中，若 是 的中点，则下列命题中正确的是（     ）.

　　（A）平面 ⊥平面

　　（B）平面 ⊥平面

　　（C）平面 ⊥平面 ，且平面 ⊥平面

　　（D）平面 ⊥平面 ，且平面 ⊥平面

　　分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

　　解：因为 且 是 的中点，所以 同理有 ，于是 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 .又由于 平面 ,所以平面 平面 .所以选C.

　　说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

　　例３．如图５， 是 所在平面外的一点，且 平面 ，平面 平面 ．求证 ．

　　分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

　　证明：在平面 内作 ，交 于 ．因为平面 平面 于 ， 平面 ，且 ，所以 ．又因为 平面 ，于是有 ①．另外 平面 ， 平面 ，所以 ．由①②及 ，可知 平面 ．因为 平面 ，所以 ．

　　说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直．

　　例４．如图６， 是⊙ 的直径， 垂直于⊙ 所在的平面， 是圆周上异于 、 的任意一点，求证：平面 平面 ．

　　分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

　　证明：因为 是⊙ 的直径， 是圆周上的点，所以有 ①．

　　因为 平面 ， 平面 ，则 ②．

　　由①②及 ，得 平面 ．

　　因为 平面 ，有平面 平面 ．

　　说明：与上例相逆，低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直 线面垂直 面面垂直．通过以上两个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

　　例５．如图７，点 在锐二面角 的棱 上，在面 内引射线 ，使 与 所成的角 为 ，与面 所成的角大小为 ，求二面角 的大小。

　　分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

　　解：在射线 上取一点 ，作 于 ，连结 ，则 为射线 与平面 所成的角， ．再作 ，交 于 ，连结 ，则 为 在平面 内的射影．由三垂线定理的逆定理， ， 为二面角 的平面角． 　　设 ，在 中， ,
在 △ 中， ,

　　 是锐角， ,即二面角 等于 ．

　　说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

　　例６．如图9，将边长为 的正三角形 以它的高 为折痕折成一个二面角 ．

　　（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；

　　（2）若二面角 是直二面角，求 的长；

　　（3）求 与平面 所成的角；

　　（4）若二面角 的平面角为 ，求二面角 的平面角的正切值．

　　分析：根据问题及图形依次解决．

　　解：（1） 二面角 的面为 和面 ，棱为 ，二面角的平面角为 ．
　　（2）若 ， ．
　　（3） 平面 ， 为 与平面 所成的角．在直角三角形 中， ，于是 ．
　　（4）取 的中点 ，连结 、 ，
　　 ，
　　 为二面角 的平面角．
　　
　　在直角三角形 中，
　　 ．
　　说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．