第二节 空间直线

典型例题

例1 若 ， ，则 ， 的位置关系是（      ）

　　A．异面直线　　　B．相交直线

　　C．平行直线　　　D．相交直线或异面直线

　　分析  判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．

　　解：如图所示，在正方体 中，设 ， ，则 ．

　　若设 ，则 与 相交．若设 ，则 与 异面．

　　故选D．

　　说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如， ， 相交， ， 相交，则 ， 的位置关系是相交、平行或异面．类似地； ， 异面， ， 异面，则 ， 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．

例2 已知直线 和点 ， ，求证：过点 有且只有一条直线和 平行．

　　分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．

　　存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．

　　因此，这是否定性命题，常用反证法．

证明：（1）存在性．

　　∵ ，∴  和 可确定一个平面 ，

　　由平面几何知识知，在 内存在着过点 和 平行的直线．

（2）惟一性

　　假设在空间过点 有两条直线 和 满足 和 ．根据公理4，必有 与 矛盾，

　　∴  过点 有一条且只有一条直线和 平行．

说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．

例3　如图所示，设 ， ， ， 分别是空间四边表 的边 ， ， ， 上的点，且 ， ，求证：

　　（1）当 时，四边形 是平行四边形；

　　（2）当 时，四边形 是梯形．

　　分析：只需利用空间等角定理证明 即可．

　　证明：连结 ，

　　在 中， ，∴  ，且 ．

　　在 中， ，∴  ，且 ．

　　∴  ，

　　∴  顶点 ， ， ， 在由 和 确定的平面内．

　　（1）当 时， ，故四边形 为平行四边形；

　　（2）当 时， ，故四边形 是梯形．

　　说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．

　　特别地，当 时， ， ， ， 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．

　　如果再加上条件 ，这时，平行四边形 是菱形．

例4　已知 是两条异面直线，直线 上的两点 的距离为6，直线 上的两点 的距离为8， 的中点分别为 且 ，求异面直线 所成的角．

　　分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线 平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．

　　解：如图，连结 ，并取 的中点 ，连结 ，

　　∵ 分别是 和 的中位线，

　　∴ ， ，即

　　　 ， ．

　　∴ 所成的锐角或直角是异面直线 所成的角．

　　又∵  ， ，

　　∴ ， ．

　　在 中，又∵ ，

　　∴ ，

　　∴ ．

　　故异面直线 所成的角是 ．

　　评注：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点 一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．

例5  已知四面体 的所有棱长均为 ．求：

　　（1）异面直线 的公垂线段 及 的长；

　　（2）异面直线 和 所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．

　　解：（1）如图，分别取 的中点 ，连结 ．

　　由已知，得 ≌ ．

　　∴ ， 是 的中点，

　　∴ ．

　　同理可证

　　∴ 是 的公垂线段．

　　在 中， ， ．

　　∴

　　　 ．

　　（2）取 的中点 ，连结 ，则 ．

　　∴ 和 所成的锐角或直角就是异面直线 和 所成的角．

　　连结 ，在 中， ， ， ．

　　由余弦定理，得

 ．

　　∴ ．

　　故异面直线 和 所成的角为 ．

　　评注：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．

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