第五节 抛物线及其标准方程

典型例题（例1～例4）

　　例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．

　　（1）   （2）

　　分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．

　　（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．

　　解：（1） ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：

　　（2）原抛物线方程为： ，

　　①当 时， ，抛物线开口向右，

　　∴焦点坐标是 ，准线方程是： ．

　　②当 时， ，抛物线开口向左，

　　∴焦点坐标是 ，准线方程是： ．

　　综合上述，当 时，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程是： ．

　　例2 若直线 与抛物线 交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．

　　解法一：设 、 ，则由： 可得：

　　∵直线与抛物线相交， 且 ，则

　　∵AB中点横坐标为：

　　解得： 或 （舍去）

　　故所求直线方程为：

　　解法二：设 、 ，则有

　　两式作差解： ，即



 故 或 （舍去）

　　则所求直线方程为：

　　例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．

　　分析：可设抛物线方程为 ．如图所示，只须证明 ，则以 AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．

　　证明：作 于 于 ．M为AB中点，作 于 ，则由抛物线的定义可知：

　　在直角梯形 中：



 ，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

　　说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

　　例4（1）设抛物线 被直线 截得的弦长为 ，求k值．

　　（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．

　　分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．

　　解：（1）由 得：

　　设直线与抛物线交于 与 两点．则有：



　　　　　

 ，即

　　（2） ，底边长为 ，∴三角形高

　　∵点P在x轴上，∴设P点坐标是

　　则点P到直线 的距离就等于h，即

 或 ，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．

典型例题（例5～例8）

　　例5 已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．

　　分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 且 即可．

　　证明：如图所示，连结PA、PN、NB．

　　由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．

　　∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有 ．



　　则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．

　　例6 若线段 为抛物线 的一条焦点弦，F为C的焦点，求证： ．

　　分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．

　　证法一： ，若过F的直线即线段 所在直线斜率不存在时，

　　则有 , ．

　　若线段 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为： ，且设 ．

　　由 得：

       ①

              ②

　　根据抛物线定义有：

　　则

　　请将①②代入并化简得：

　　证法二：如图所示，设 、 、F点在C的准线l上的射影分别是 、 、 ，且不妨设 ，又设 点在 、 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，



　　又 ∽ ，

　　即



　　故原命题成立．

　　例7 设抛物线方程为 ，过焦点F的弦AB的倾斜角为 ，求证：焦点弦长为 ．

　　分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．

　　证法一：抛物线 的焦点为 ，

　　过焦点的弦AB所在的直线方程为：

　　由方程组 消去y得：



　　设 ，则

　　又



　　即

　　证法二：如图所示，分别作 、 垂直于准线l．由抛物线定义有：

　　于是可得出：



　　故原命题成立．

　　例8 已知圆锥曲线C经过定点 ，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为 ，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆 相交于不同的两点，求

　　（1）AB的倾斜角 的取值范围．

　　（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．

　　分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得 的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．

　　解：（1）由已知得 ．故P到 的距离 ，从而

　　∴曲线C是抛物线，其方程为 ．

　　设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与 无交点．

　　∴k存在．设AB的方程为

　　由 可得：

　　设A、B坐标分别为 、 ，则：



　　∵弦AB的长度不超过8， 即

　　由 得：

　　∵AB与椭圆相交于不同的两点，

　　由 和 可得： 或

　　故 或

　　又 ，∴所求 的取值范围是： 或

　　（2）设CD中点 、 、

　　由 得：



　　则 即 ．



　　化简得：

　　∴所求轨迹方程为：