第四节 简单的线性规划

典型例题

　　例1　画出不等式组 表示的平面区域．

　　分析  采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．

　　解  把 ， 代入 中得

　　∴  不等式 表示直线 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．

　　说明  “图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．

　　例2 若 、 满足条件 求 的最大值和最小值．

　　分析  画出可行域，平移直线找最优解．

　　解  作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

　　作直线 ，即 ，它表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线 过点时， 取得最大值，当 过点 时， 取得最小值．

　　∴　       ∴　

　　说明  解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．

　　例3　某糖果厂生产 、 两种糖果， 种糖果每箱获利润40元， 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）

	混合	烹调	包装
	1	5	3
	2	4	1

　　每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．

　　分析  找约束条件，建立目标函数．

　　解  设生产 种糖果 箱， 种糖果 箱，可获得利润 元，则此问题的数学模式在约束条件 下，求目标函数 的最大值，作出可行域，其边界           

　　由 得 ，它表示斜率为 ，截距为 的平行直线系， 越大， 越大，从而可知过 点时截距最大， 取得了最大值．

　　解方程组

　　∴  即生产 种糖果120箱，生产 种糖果300箱，可得最大利润19800元．

　　说明  由于生产 种糖果120箱，生产 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究．

　　例4 甲、乙、丙三种食物的维生素 、 含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
维生素 （单位/千克）	600	700	400
维生素 （单位/千克）	800	400	500
成本（元/千克）	11	9	4

　　某食物营养研究所想用 千克甲种食物， 千克乙种食物， 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素 和63000单位维生素 ．（1）用 、 表示混合物成本 ．（2）确定 、 、 的值，使成本最低．

　　分析  找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解．

　　解  （1）依题意： 、 、 满足

　　∴  成本 （元）

　　（2）依题意

　　∵     

　　∴

　　作出不等式组所对应的可行域，如图所示．

　　联立

　　作直线 则易知该直线截距越小， 越小，所以该直线过 时，直线在 轴截距最小，从而 最小，此时7×50＋5×20＋400＝ ＝850元

　　∴  千克， 千克时成本最低．

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