第二节 直线的方程

典型例题

　　例1：直线 过点 （－1，3），倾斜角的正弦是 ，求直线 的方程．

　　分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．

　　解：因为倾斜角 的范围是：

　　又由题意： ，

　　所以： ，

　　直线过点 （－1，3），由直线的点斜式方程得到：

　　即： 或 ．

　　说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角 的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．

　　例2：求经过两点 （2， ）和 （ ，3）的直线方程．

　　分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及 与3的分类．

　　解：法一：利用直线的两点式方程

　　∵直线过两点 （2， ）和 （ ，3）

　　（1）当 时，点 的坐标是 （2，3），与点 （ ，3）的纵坐标相等，则直线 的方程是 ；

　　（2）当 时，点 的坐标是 （2，3）,与点 （2， ）的横坐标相等，则直线 的方程是 ；

　　（3）当 ， 时，由直线的两点式方程 得：

　　法二：利用直线的点斜式方程

　　（1）当 时，点 的横坐标相同，直线 垂直与 轴，则直线 的 ；

　　（2）当 时，过点 的直线的斜率是 ，

　　又∵过点 （2， ）

　　∴由直线的点斜式方程 得过点 的直线的方程是：

　　说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．

　　例3：把直线方程 化成斜截式_________，化成截距式__________．

　　分析：因为 ，即 ， ， ，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．

　　解：斜截式为 ，截距式为 + ＝1

　　说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．

　　例4：过点 （3，0）作直线 ，使它被两相交直线 和 所截得的线段 恰好被 点平分，求直线 的方程．

　　解：设 点坐标（ ， ）

 线段 的中点为 （3，0）

　　∴ 由中点公式，可设 点坐标为

   ， 两点分别在直线 和 上

      ∴       

　　解得   

　　由两点式可得直线 的方程为：                 

　　例5：一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．

　　解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的　　两点式方程，得：               ＝

　　即             ＝0.0025 ＋10.4000

　　当 ＝25°时     ＝0.0025 ＋10.4000＝0.0031＋10.4000＝10.4031

　　即当 ＝25°时，铁棒长为10.4031米．

　　说明：直线方程在实际中应用非常广泛．

　　例6：已知 ，其中 、 是实常数，求证：直线 必过一定点．

　　分析：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为 ，可知 ， 即为方程 的一组解，所以直线 过定点（6，4）．此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法．

　　例7：直线 过点 （2，1），且分别交 轴、 轴的正半轴于点 、 ．点 是坐标原点，（1）求当 面积最小时直线 的方程；（2）当 最小时，求直线 的方程．

　　解：（1）如图，设 ， ， 的面积为 ，则

     

　　并且直线 的截距式方程是

 ＋ ＝1

　　由直线通过点（2，1），得 

 ＋ ＝1

　　所以: ＝ ＝

　　因为 点和 点在 轴、 轴的正半轴上，所以上式右端的分母 ．由此得:

  

  



　　当且仅当 ，即 时，面积 取最小值4，

　　这时 ，直线的方程是: ＋ ＝1

　　即:

　　（2）设 ，则 ＝ ， ＝ ，如图2，

　　所以   ＝ ＝

　　当 ＝45°时 有最小值4，此时 ，直线 的方程为 ．

　　说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．

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