第九节 正弦定理、余弦定理

典型例题

　　例1．在 中，已知 求 和 ．

　　分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题．可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出 后，再求出角 与角 与角 ．

　　解：解法一： ∴问题有两解．

　　由正弦定理，得

　　

　　（1）当 时，

　　

　　（2）当 时，

　　

　　故

　　解法二：由余弦定理有

　　即

　　整理，得 解得

　　又

　　当 时，由①可得

　　故 ；

　　当 时，由①可得

　　故

　　故

　　小结：对本题，一般会误认为只能动这用正弦定理求解，而余弦定理似乎难以派上用场．其实不然，解法二就是珍上明证．

　　事实上，正弦定理与余弦定理是等价的，完全可以相通．凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也能求解．反之亦然，只不过解题过程的繁简程度有所不同而已．鉴此，我们在学习中，不能把正弦定理与余弦定理完合割裂开来，而要用一种联系的观点来看等待它们．

　　已知两边和其中一边的对角，三角形的形状一般不是确定的．若用正弦定理解这类问题时，必须根据条件判明这个三角形是否有解，有解时是一解还是两解．具体方法是：若给出的角是锐角（如本例），若这角的对边小于另一边，则有两解．反之则只有一解；若给出的角是钝角，若这角的对边大于另一边，有一解．反之则无解．显然，这种判断方法的依据就是：同一三角形中大边（角）对大角（边）．

　　若用余弦定理解此类问题，如何来判断这个三角形是否有解，请读者自行考虑．

　　例2．在 中，已知 求

　　分析：已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可选求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．

　　解：由已知， 最大．

　　由余弦定理，得

　　

　　由正弦定理，得

　　

　　 为锐角， ．

　　于是

　　

　　小结：此题也可由余弦定理先求最小角A， 再求其他角．由于题目已知三边，所以利用余弦定理求得最大角或最小角后，再求第二个角，仍可用余弦定理，例如由

　　 例3．如图所示，在 中，已知 求 边上的高．

　　分析：由已知设AB＝7x，AC＝8x，故要求AD的长只要求出x，△ABC中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x，而用正弦定理正好可求角C.

　　解： 在△ABC中，设AB=7x，AC=8x．

　　由正弦定理得

　　 舍去，否则由 知B也为钝角，不合要求）．

　　再由余弦定理得

　　

　　在 中，

　　

　　小结：利用比例式的设法是一种解题常用的技巧，可使运算简便．

　　例4．已知方程 的两根之积等于两根之和，且 为 的两边， 为两内角，试判定这个三角形的形状．

　　分析：先由已知条件得出三角形的边角关系．要判定三角形的形状，只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定．

　　解：解法一：设方程的两根为 ，由韦达定理知：

　　由题意有

　　根据余弦定理得

　　化简得

　　∴  为等腰三角形．

　　解法二：仿（1）得

　　由正弦定理得：

　　

　　

　　故 为等腰三角形．

　　小结：由三角形的边角关系判定三有的形状，其本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，或全化为边的关系、或全化为角的关系，然后利用简单的平面几何知识即可判定．

　　例5．在 中， 求证： 成等差数列．

　　分析：本例的已知条件是边角关系式，要证的是边的关系．可以考虑把已知条件化为边的关系，也可以考虑把已知条件化为角的关系先进行化简，然后再转化为边的关系．

　　证法一：

　　

　　证法二：

　　

　　以下同证法一．

　　小结：三角形中边角关系恒等式的证明，主要是根据正、余弦定理，或者全化为边的关系转化为代数问题处理，或者全化为解的关系转化为三角问题处理．

　　例6 ．如图，在 中， 分别为角 的对边， 是 外接圆的直径， 求 的长．

　　分析：要求出三角形外接圆直径长，根据正弦定理，只要求出 的一个内角和它的对边．由题设等式的特点，利用余弦定理可求 ,接着它的对边 在 中可求，问题得到解决．

　　解：由余弦定理：

　　

　　在 中，由余弦定理，

　　

　　小结：在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，合理使用正弦定理或余弦定理．

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