第十一节 已知三角函数值求角

典型例题

　　例1．已知 ，若（1） ；（2） ．求角

　　分析：由正切函数的单调性可知，在开区间 内，符合条件 的角只有一个，而在 内，符号条件 的角就有两个．

　　解 （1）由正切函数在开区间 上是增函数可知；符合条件 的角只有一个，即 ．

　　（2）∵ ，所以 是第二或第四象限角，

　　又∵ ，由正切函数在区间 、 上是增函数知，符合 的角有两个．

　　∵ ，且 ，

　　∴ ，或 ．

　　小结：在某范围内解的个数判断，根据函数性质、三角函数线或三角函数值的符号判断所在象限，然后推广到整个范围．

　　例2．用反三角函数表示下列各式中的

　　（1）　　（ ）；

　　（2）　　（ ）；

　　（3）　　（ ）；

　　（4）　　（ ）．

　　分析：用反三角函数表示角，应先观察题中的角是否在定义中规定的基本范围内，如在，则直接写出；如不在，则应运用诱导公式把角化入基本范围内．

　　解：（1）∵ ，∴ ．

　　（2）∵ ，∴ ．

　　由 ，即 ，

　　∴ ，即  ．

　　（3）∵ ，∴ ．

　　又 ，

　　∴ ，即 ．

　　（4）∵ ，∴ ．

　　小结：利用反三角函数符号表示角要注意所能表示的范围：

　　 ，

　　 ，

　　 ．

　　例3．已知 ．

　　（1） ，求 ；

　　（2） ，求 的取值集合；

　　（3） 时，求 的取值集合．

　　分析：当 时，满足 的 ，利用诱导公式可知满足 且 的 有两个值 与 ，利用终边相同角的三角函数值相等可求出 上的所有 的集合．

　　解：（1）由 在 上是增函数及 知，符合条件的角有且只有一个，利用反正弦概念得： ．

　　（2）当 时，由诱导公式 及 知 ， ．于是所求的 的集合是 ．

　　（3）当 时，根据正弦函数的周期性，可知当 或 ， 时， ．因此所求的 的集合是

．

　　小结：（1）已知三角函数值求角，一般思路是先求出的给三角函数值的绝对值对应的锐角 ，然后利用诱导公式求出 内的特解 与 ，最后利用三角函数的周期性写出 上的通解．

　　（2）本例是从不同的范围，阐述了已知三角函数值求角的方法，有很强的代表性，要认真领会，学会应用，若把正弦切成余弦、正切，也要会求．

　　例4．在一个正方形内作一个内接正方形，使这两个正方形面积之比为3：2，求内接正方形一边与原正方形一边之间所成的角．

　　分析：关键是设法将两正方形边之比表为其夹角 的函数，列出方程求解．

　　解：如图1，设正方形 的内接正方形为 ， ， ．则

　　

　　　　

　　依题意有　

　　化简得： ，

　　即    ．

　　∵ 为锐角，∴ 或 ，即 或 ．

　　小结：将题目转化为已知三角函数值求角问题，在求解过程中尽量转化为一个角的三角函数形式，以便利用所学知识求解．