第九节 函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象

典型例题

　　例1．（l）利用“五点法”作函数 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相．

　　　　（2）怎样由 的图象得到 的图象？

解：（1）列表：

　　描点：（ ，0），（ ，2），（ ，0），（ ，－2），（ ，0）。

　　用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数 在一个周期内的简图（图1）．把这个简图利用函数的周期性向左、右扩展，就得到函数 的简图．

　　振幅 ，周期 ，初相

　　（2）解法一

　　 ①把函数 的图象上所有点向右平移 个单位，得到函数 的图象；②把函数 图象上所有点的根坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；③把函数 图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就得到函数 的图象见图1．

　　解法二

　　①把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象；②把函数 图象上所有的点向右平移 个单位，得到函数 的图象；③把函数 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（根坐标不变），就得到函数 的图象见图1．

　　例2．已知函数 在一个周期内的简图（如图）。求其相应的函数表达式，并说明它是 经过怎样变换得到的。

　　 分析：应求出A、 、 ，观察图像易知振幅 ，周期 ，从而求得 ，对于 ，只需将点 代入解析式即可通过解方程获得。得知函数表达式则图像变换易知。

　　解：因为 ，所以 ，又易知 ，所以 。将点 代入上式得 。即 ，由 得 ，所以 。

　　它的图像可由 的图像作如下变换得到：

　　

　　小结：利用图像特征确定函数解析式 或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：

　　（1）振幅 ．

　　（2）相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为 ，由此推出 值．

　　（3）确定 值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定．

　　例3． 函数 ，当它表示一个振动量时，求出它的振幅、周期、频率。相位、初相．

　　解：振幅 ，周期 ，频率 ，相位是 ，初相是 。

　　例4． 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 （厘米）和时间 （秒）的函数关系为

　　（l）作出它的图像；

　　（2）单摆开始摆动（ ）时，离开平衡位置多少厘米？

　　（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

　　（4）单摆来回摆动一次需多少时间？

　　解：（l）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：

	…						…
	…	0				2	…
	…	0	6	0	－6	0	…

　　用光滑曲线连接这些点，得函数 的图像（如图）

　　（2）当 时， ，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 。

　　（3） 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 。

　　（4） 的周期 ，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1 。

　　评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便

　　例5．函数 的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移 个单位，所得到的曲线是 的图像，试求函数 的解析式．

　　分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由 变换到 ；二是代换法，即设 ，然后按题设中的变换分两步得： ，它就是 ，即可求得 、 、 的值．

　　解：解法一：问题即是将 的图像先向右平移 个单位，得到 ；再将横坐标压缩到原来的 ，得 ，即 ．这就是所求函数 的解析式．

　　解法二：设 ，将它的横坐标伸长到原来的两倍得到 ；再将其图像向左平移 个单位，得 ．

　　∴ 解之得：

　　∴ ，即 ．

　　小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．

　　例6．已知函数 （ ， ， ）的图像的一个最高点为（2， ），由这个最高点到相邻最低点，图像与 轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式．

　　解  ∵最高点为（2， ），

　　∴ ，由题意知从最高点到相邻最低点时交 轴于（6，0），

　　∴ ，即 ．

　　∴ ．

　　∴ 代入最高点坐标，

　　 ，

　　∴ ，

　　∴ ．

　　∴函数解析式为