第八节 正弦函数、余弦函数的图象和性质

典型例题

　　例1．求函数 的定义域．

　　分析：要求 ，即 ，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加 ．

　　解：由题意 ，

　　即  ．

　　在一周期 上符合条件的角为 ，

　　∴定义域为 ．

　　小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为 ，并非一定取 ，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在 上求范围则分为两段 和 ，不如在 上是完整的一段．

　　例2．求函数 的定义域。

　　分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成。求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论。

　　解：欲求函数定义域，则由

　　即 也即

　　解得

　　取 、0、1，可分别得到

　　 或 或 。

　　即所求的定义域为 。

　　小结：在解本题时，容易出现的失误是，由 ，得 或 ；或在解不等式组 时出现错误，如得出函数的定义域为 或 等。

　　解类似本例的问题，其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。而求公共解，如能借助于图形，由数形结合，往往可以事半功倍。具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。如图甲、乙所示。

　　例3．求下列函数的值域：

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） ；　（4） ．

　　分析：（1）先利用降幂公式，将其化为一个角的一个三角函数式，再根据三角函数性质求其值域；（2）可利用降幂公式，倍角公式，差角公式，化为一个角的一个三角函数其值域；（3）利用配方法，并结合二次函数、正弦函数的性质求解；（4）从反函数观点出发，借助于余弦函数的有界性求解．

　　解：（1） ．

　　∵ ，∴ ．

　　将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用三角函数的性质求值域．

　　（2）

　　　　　

　　　　　

　　∵ ，

　　∴ ．

　　利用了降幂公式和倍角公式，将其化为一个角的一个三角函数的形式．

　　（3） ．

　　将其看做关于 的二次函数，注意到 ，

　　∴当 时， ．

　　　当 时， ，

　　∴ ．

　　本题结合了二次函数求极值，但应注意 的取值范围．

　　（4）由原式得 ．

　　∵ ，∴ ．

　　∴ 或 ．

　　值域为 ．

　　小结： 配方法、化一法、逆求法、有界性法等，是求三角函数值域常用的几种方法．相信你会从此题的求解过程中，领悟到这一点．

　　例4．求函数 的单调减区间．

　　分析：容易想到将函数转化为 ，换元令 ，进而转化为 ．

　　解： ．

　　令 ，则 ．

　　由正弦函数的单调性，知

　　当 （ ）时，函数递减，

　　即  （ ），

　　∴ （ ）．

　　∴函数的单调减区间是 （ ）．

　　小结：本题通过换元，将函数 化为 ，充分体现了转化的数学思想．

　　例5．作函数 的图像。

　　分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图像。

　　解：当 ，即 时，有 ，即 。其图像如图，

　　小结：函数 的图像即是 的图像，因此作出 的图像后，要把 的这些点去掉。

　　例6．已知 ，（a、b为常数），且 ，求 。

　　分析：要求函数值，需知函数解析式，因含a、b两个参数，一个条件 难确定。深入分析 与 的内在联系，应向函数奇偶性联想。注意到 为奇函数，问题自可获解。

　　解：因为 ，所以 为奇函数，所以 ，

　　所以 。

　　小结：（1）判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。

　　（2）函数奇偶性的确定，可使研究问题的条件增加，从而使问题难度变小，尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题，可考虑奇偶性的应用。