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当前位置:第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切
作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq
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【典例剖析】
例1 化简与求值．
（1） 
（2） 
分析：可先用诱导公式将三角式中的角度转化，然后再用两角和与差的三角公式化简与求值．
解：（1）原式 
（2）原式 
说明：本例第（1）题中四个角不相同，初看起来不能利用公式，但是当我们利用诱导公式将角度化为小于 
的正角后，就会发现其内在关系，而对于第（2）题中的 
与 
，由于它们互为补角，故也可用诱导公式化为相同的角．
例2
求 
的值．
分析：发现此式与 
用和角正切公式展开后之间的内在联系，即可求得所求的值．
解：∵
去分母整理，得
说明：灵活运用公式体现在变形应用公式，如本例，和差角正切公式是分式形式，根据需要可化为整式．
3 已知 
， 
， 
，求 
的值．
分析：由 
的范围及 
的值，利用同角三角函数关系式可求 
和 
的值，同理可求得 
的值，再用已知角 
及 
来表示未知角 
，即 
，然后利用两角差的余弦公式求得．
解：∵
， 
∴
．
∴
又∵ 
， 
∴ 
于是 
说明：本题获解的关键是将 
表示成： 
．由于可以求 
与 
相应三角函数值，所以利用两角差的余弦公式可顺利求得 
的值．
例4
已知： 
， 
， 
， 
，求 
与 
．
分析：研究角与角的关系，发现 
，
，再求余弦值．
解：∵
， 
，
∴
∵
， 
，
∴
∴
例5
已知： 
， 
，求 
的值．
分析：欲求值，需化弦，得 
，可再求 
， 
解：∵
，∴
①
∵
，∴
②
（①＋②）÷（①－②）
得 
说明：当题中异角、异名时，常需化角化名，有时将单角转化为复角（和或差），本题是利用展开，将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化．
例6
已知： 
是△ 
的三个内角，且 
．试判断此三角形的形状特征．
分析：（1）化去对数符号，对数式转化为有理式，（2）考察 
的关系及大小，据此判明形状特征．
解：从 
可得
， 
，
．
移项化为
即
∴ 
∴
△ 
为等腰三角形．
说明：（1）从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法．
（2）若此题用下面的方法继续探究下去，你认为怎样？为什么？
由于
∴ 
故 
．
∵
∴ 
，
得 
， 
， 
，
∴ 此三角形是等腰直角三角形．
例7
在△ 
中，求证 
．
分析：
注意到 
，∴ 
，
移项得 
，取正切，用诱导公式和 
整理即是．另外， 
， 
．都可得出相类拟的等式．
证明：
∵ 
∴ 
故 
即
去分母得
例8
已知： 
与 
是 
的解，若
，求 
与 
的值．
分析：∵ 
与 
是二个未知数，∴列出二个方程便可解得．
解：设 
，则 
，
∵
，∴
，
解得 
或 
．
（Ⅰ）当 
时，有 
，
∴
，
．
（Ⅱ）当 
时，有 
．
∴
．
说明：“列方程求未知数”这是数学的常用方法，要熟悉方程的思想方法并会灵活运用，如果 
， 
是某二次方程的二根，则韦达定理与公式 
有着必然的联系；若 
， 
是某二次方程的二根，则韦达定理与 
有着必然联系，要充分利用这些联系解题．