第四节 同角三角函数的基本关系式

典型例题

　　例1  已知 ，试用 表示其他五种三角函数．

　　分析：本题首先应注意对 进行分类，再利用同角三角函数的关系求之．

　　解：由于 ，且 ，所以其他五种三角函数都有意义．

　　（1）当 在第一、二象限时，

 ， ， ， ， ．

　　（2）当 在第三、四象限时，

 ，

 ， ，

 ， ．

　　说明：解决此类问题时，应注意尽可能地确定 所在的象限，以便确定三角函数的符号．另外，在用一个角的三角函数值表示其他几个三角函数值时，应尽可能少地使用平方关系．

　　例2  已知 ，求 的值．

　　分析：本题的解题思路入口处较宽，下面给出一种化切为弦的求法．

　　解：将已知等式两边平方得 ．

　　由于 ，所以 ， ，从而 ，故

．

　　解方程组 解得

　　故  ．

　　说明：对于本题还可以有其他多种解法，有兴趣的读者不妨一试，但值得注意的是，对本题如若解题时不很细主，则很容易发生误解，如以下这种解法：

　　由 ．

　　即 ，解得 或 ．

　　你能看出其中的错误吗？

　　例3  化简 ．

　　分析：对本题一般可采取化切为弦的办法进行化简．

　　解：原式

　　　　　　

　　说明：化简三角函数式所得的最后结果，应满足以下要求：①函数的种类要最少；②项数要最少；③函数次数要最低；④能求出数值的要求出数值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．

　　例4  求证 ．

　　分析：对本题，可多角度地探究其证法．

　　证法一：左边



 右边．

　　证法二：右边－左边

　　证法三：命 ， ，消 得 ，即 ，

　　左边 右边．

　　证法四：构造关于 的方程 ，即 ，解之得 ，将其一根 代入第一个方程，即有

 ．

　　说明：在本题的上述四种不同的证法当中，均体现了一种转化与化归的数学思想方法．

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