第三节 任意角的三角函数

典型例题

　　例1  若角 的终边经过点 ，试求 的六个三角函数值和角 的集合 ，并求出集合 中绝对值最小的角．如图所示．

　　分析：应先找出 的值．

　　解：∵ ， ，

　　∴ ．

则  ，

    ，

    ，

    ，

    ， ．

又∵ ，

　　∴ ．

 ．

　　故 中绝对值最小的角是 ．

说明：此例是典型的考查定义的题．

　　例2  已知角 的终边上一点 ，（ ）求角 的六个三角函数值．

　　分析：与上例一样，应先求出 及 ．

　　解：∵ ，

　　则 ，

　　∴ ， ， ，

 ， ， ．

说明：此类题目应用定义解，但若此类题目没有给出 的取值范围，要分类讨论求解．

　　例3  当 为第二象限角，试求 的值．

　　分析：应先由 为第二象限角这一条件求出绝对值再求值．

　　解：当 为第二象限角时， ， ，

　　故  ．

说明：此类题目旨在考查对符号的判定．

　　例4  若 ，且 ，试确定 所在的象限．

　　分析：用不等式表示出 ，进而求解．

　　解：∵ ，∴ 在第一或第二象限，即

　　 ．

　　则   ．

　　当 ，有

　　 ．

　　当 ，有

   ．

　　故  为第一或第三象限．

　　又由 ，可知 在第二或第三象限．

　　综上所述， 在第三象限．

说明：应注意在求此题的最终解答时，要找出 所在有关集合的交集．

　　例5  计算：

　　（1） ；

　　（2） ．

　　分析：应利用课本中给出的公式以及由此推得的下列公式化简求值．

 ；

 ；

 ．

解：（1）原式

．

（2）原式



 ．

说明：应对特殊角的三角函数值熟练掌握，以便准确应用．

　　例6  已知 为锐角，试证： ．

　　分析：应在角 的终边上任取一点，应用三角函数的定义来解之．

　　证明：在角 的终边上任取一点 （异于原点），则

 ， ．

　　∵ 为锐角，∴ ， ．



 ，

　　又 ．

　　故  ．

说明：（1）本例中，运用三角函数的定义，将三角函数表示为比例，从而将三角问题转化为代数问题而获解，这是一种十分重要的解题方法，应引起重视．

　　（2）本例中，应用了 ， ．这种基本的不等关系应熟悉．

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