第四节 等比数列

典型例题

　　例1.已知 为各项均为正数的等比数列，公比 ，则（  ）.

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D） 与 的大小关系不确定

　　分析：比较两数大小用到作差比较法.

　　解： ，

 ，

 －

　　　　　　　　　　　　＝ ＝ .

　　因为 为各项均为正数，所以 .

　　当 时有 ， ；

　　当 时有 ，也有 ，所以对任意正数 都有 ，即 ，故选择 .

　　说明：通过本题的探索，复习基本量的方法，同时复习比较法的基本思路与方法.

　　例2.已知三角形的三边长成等比数列，求此等比数列的公比的取值范围.

　　分析：由三个数构成三角形三条边的条件建立关于公差的不等式（组）.

　　解：设该等比数列的公比为 ，一条边长为 ，则三条边长分别为 .所以有 化简得 



 ，

　　于是公比的取值范围是 .

　　说明：本题是数列知识与几何知识、不等式的解法的综合题，正确解答的关键是把问题一步一步地转化.

　　例3.已知数列 是由正数构成的等比数列，公比 ，且 ，则 等于（   ）.

　　（A）（B） （C） 　　（D）

　　分析：利用等比数列相邻的三项之间的关系 ，使得变量减少.

　　解： …，

 … ＝ ，

 .



　　　　　　　　　　 ，

 选择（B）.

　　说明：本题的一般解法是基本量法，即将所求各项均用 表示，由已知的两个等式求出 ，代入所求即可，但运算量较大.本解法利用的是整体代换———通过观察发现项之间的关系，将30项平均分成了10组，寻求每组中的项之间的关系.本题还可求得 .

　　例4. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

分析：解题思路是设未知数，列方程组，解方程组.

　　解：设这四个数依次为 ，于是有 ，

　　解得 或 故所求的四个数为0，4，8，16，或15，9，3，1.

　　说明：本题设未知数的方法很多，出所示解法外，还可设四个未知数，这样便须列四个方程.可能多数学生选择两个未知数，如利用等差数列这一条件，设四个数分别为 ，方程较为复杂，所以要选择适当的未知数，使得未知数尽量少，方程尽量简单.

　　例5.设二次方程 有两个实根 和 ，且满足 .

　　（1）试用 表示 ；

　　（2）求证 是等比数列；

　　（3）当 时，求数列 的通项公式.

　　分析：消去 得到 ， 的关系，利用定义证明数列为等比数列.

　　解：（1）由根与系数的关系得 代入 ，化简得 .

　　证明：（2）因为 ，所以 ，于是 （可以证明 ），故 是公比为 的等比数列.

　　解：（3）当 时， ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.

　　于是 故 .

　　说明：一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列（或等差数列），形如 的数列就可以转化为一个等比数列.

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