第九节函数的应用举例

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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典型例题

　　例1．如图，一动点自边长为1的正方形的顶点出发，沿正方形的边界运动一周，再回到点．若点的路程为，点到顶点的距离为，求两点间的距离与点的路程之间的函数关系式．

　　分析：由于点分别在上移动时，相应距离计算方法是不同的，故需分类讨论．

　　解：(1)当点在边上即时，也就是 ;

　　(2)当点在边上时，即时，，由勾股定理得

　　．

　　 (3)当点在边上即时，，由勾股定理得

．

　　(4)当点在边上即时，有．

　　．

　　说明：几何应用问题要注意实际问题对定义域的限制条件．对分界点的讨论应做到不重不漏．

　　例2．将进货单价为20元的商品按30元一件销售时，一个月可卖400件．若这种商品的销售单价每变化1元，月销售量改变20件(降价时销售量增加，提价时销售量减少)为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?

　　分析：首先可以根据题意自己选择自变量 (可以取提高的钱数也可选取销售单价)然后再把利润的计算搞清．利润=(原销售单价+提价-进货价) (原销售量-滞销量)．

　　解：设销售单价提高元，则月滞销量为20 件．由题意得

　　即，当时，，此时

　　当每件商品售价提高5元即销售价定为35元时，月利润最大，最大利润为4500元．

　　说明：此题是商品销售的最典型问题．弄清各术语的意义及它们之间的关系是解决问题的关键．在正常情况下，上式中定义域的负值含义为降低，为零时，为不升不降．

　　例3．某渔场养鱼，第一年：鱼的重量增长200%，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半．

　　(1) 当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍?

　　(2) 如果由于某种原因，每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少?

　　分析：在实际问题中有关增长率的问题是较常见的．要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式，其中是原来的基数，为增长率，为时间．

　　解：(1)设鱼原来的重量为，年后鱼的重量为，则:

．

　　故四年后的重量是原来重量的倍．

　　(2)由，得，．

　　故经过五年后鱼的重量开始减少．

　　说明：对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算．

　　例4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车得刹车距离超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲乙两种车型的刹车距离 (米)与车速 (千米/小时)之间分别有如下关系：，，问超速行驶应负主要责任的是谁?

　　分析：此题关键在于题意的理解及向数学问题的转化．负主要责任即车速的比较应尽量列出关于车速的不等式即可．

　　解：据题意得

　　(1) 和

　　(2) 由(1)得或，由(2)得或．分别舍去负值可知千米/小时千米/小时．两车相比，乙车超过限速应负主要责任．

　　例5．用汽船拖载重量都是且满载货物得小船若干只，在两港之间来回运送货物．若每次拖4只小船，则一天可来回16次，若每次拖7只小船，则一天可来回10次，且每天来回次数是每次所拖小船只数的一次函数，若每天每次所拖小船数不变，每天来回多少次，每次拖几只小船，才能使运货总重量达到最大，每天最大运货总重量是多少?