第一节 映射

典型例题

　　例1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?

　　(1) ，对应法则 ．

　　(2) ， ， ， ， ．

　　(3) ， ，对应法则 取正弦．

　　(4) ， ，对应法则 除以2得的余数．

　　(5) ， ，对应法则 ．

　　(6) ， ，对应法则 作等边三角形的内切圆．

　　分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全．

　　解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原象．

　　(2)是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数．

　　(3)是映射，是一一映射，因为集合 中的角的正弦值各不相同，且集合 中每一个值都可以是集合 中角的正弦值．

　　(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素．

　　(5)不是映射，因为集合 中的元素(如4)对应集合 中两个元素(2和-2)．

　　(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆．边长不同，圆的半径也不同．

　　说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合 ，集合 及对应法则 有哪些具体要求，包括对法则 是数学符号语言给出时的理解．    

　　例2 给出下列关于从集合 到集合 的映射的论述，其中正确的有_________．

　　(1) 中任何一个元素在 中必有原象;                                          

　　(2) 中不同元素在 中的象也不同 ;

　　(3) 中任何一个元素在 中的象是唯一的;

　　(4) 中任何一个元素在 中可以有不同的象;

　　(5) 中某一元素在 中的原象可能不止一个;

　　(6)集合 与 一定是数集；

　　(7)记号 与 的含义是一样的．

　　分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助．

　　解： (1)不对  (2)不对   (3)对     (4)不对    (5)对      (6)不对     (7)不对

　　说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准确．

　　例3 (1) ， ， ， ， ．在 的作用下， 的原象是多少?14的象是多少?

　　(2)设集合 {偶数}，映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ，则在映射 下，象20的原象是多少？

　　 (3) 是从 到 的映射，其中 ， ， ，则 中元素 的象是多少? 中元素 的原象是多少?

　　分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法．

　　解：(1)由 ，解得 ，故 的原象是6;

        又 ，故14的象是 ．

　　(2)由 解得 或 ，又 ，故 即20的原象是5．

　　(3) 的象是 ，由 解得 ，故 的原象是1．

　　说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程组．在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时，对 和 的制约条件都是两条，应解方程组，且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解)．其中第(3)小题集合 中的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先认清集合的特征．

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