第三节 解直角三角形

典型例题

　　【例】 设中，于D，若，解三角形ABC。

　　分析  “解三角形ABC”就是求出的全部未知元素。本题CD不是的边，所以应先从Rt入手。

　　解：在Rt中，有

　　∴

　　在Rt中，有

　　点拨  （1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如

　　

　　（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理。事实上，还可以用面积公式求出AB的值：

　　

　　所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具。

　　【例2】  在中，，求。

　　分析  （1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；

　　（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解。

　　解：如图所示，作交CB的延长线于H，于是在中，有，且有

；

　　在中，，且

，

　　∴  ；

　　于是，有

，

　　则有

　　

　　点拨  还可以这样求：

　　

　　【例3】在中，，求AB边上的高CH。

　　分析 注意到，在中，构造关于CH的方程。

　　解：设，在中，，于是

，

　　所以有关于h的方程

，

　　解这个方程，得

，

　　∴。

　　点拨  这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用。

　　在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用。本例中关于的计算如果是这样：

　　

　　就不是好的计算过程，如果看到就有简便的算法

　　。

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