第二节 正切和余切

典型例题

　　例1 下列不等式成立的是（ ）

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

　　解： 。

　　

　　∴ 。

　　故应选D

　　说明：本题根据特殊角的三角函数值比较大小，进而选出正确答案。

　　例2 在Rt 中， ，如果 ，则 等于（ ）

　　（A） 　　（B） 　　（C） 　　（D）

　　解：如图，在Rt 中，设 ，则 。

　　

　　说明：本题根据锐角三角函数的定义，利用“直接法”求解。

　　例3 求下列各式中的锐角x。

　　（1） ；

　　（2） 。

　　分析：综合考查换元思想，方程解法，特殊角的三角函数值；（1）由原方程得 ，把 看作一个量，从而列出 ；（2）令 ，则原方程化为关于t的一元二次方程，把t求出来，然后再求x的值。

　　解：（1）∵

　　∴ ，

　　∴ 。

　　 。

　　（2）令 ，原方程可化为：

　　 。

　　得： ，

　　 。

　　说明：换元思想可以化繁为简，化难为易，化未知为已知，是中学数学常用的数学方法，望读者仔细体会。

　　例4 在Rt 中， ，垂足为 ，求AB的长和 的值。

　　解：如图，

　　

　　 ∽ ，

　　

　　 或 （舍去）。

　　由勾股定理，得 。

　　 。

　　说明：利用三角形相似找出本题的解题思想，因此，对学过知识要灵活运用。

　　例5 已知 为锐角，且 ，

　　求： 的值。

　　解：原式 。

　　 ，

　　∴原式 。

　　说明：本题的解法比较巧妙，也可以由 得 ，即 ，代入要求的式子，得 求解，方法较多，要找出一种较好的解法。

　　例6 在 中，求证： 。

　　证明：在 中，

　　

　　说明：等式 成立是有条件的，即“在 中”，如果把这个条件去掉，则等式不一定成立了。类似地还可以证明

　　 。

　　例7 在 中， ，求：（1） 的值；（2） 的值。

　　分析：为了求 、 的值，就要分别构造出以 、 为内角的直角三角形。

　　解：（1）如图，过点A作 于E，则

　　 ，即 ，

　　 ，

　　则 。

　　∴ 。

　　在Rt 中， 。

　　（2）由（1）知， ，

　　则 。

　　过点C作 于D，

　　由 ，

　　得 ，

　　 。

　　在Rt 中， 。

　　说明：锐角三角函数是在直角三角形内定义的，因此构造直角三角形就成为利用锐角三角函数解题的基本手段。

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