第四节 一元二次方程的根与系数的关系

典型例题1

　　例1  如果是方程的两个根，不解方程，求的值.

　　解：∵  是方程的两根，

　　∴  .

　　

　　说明  题中没有明确，因此的值可能为正，也可能为负.

　　例2  不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.

　　解：设方程的两根是.

　　则  .

　　设所求的方程为，它的两根分别是和

　　则  

　　      ，

　　

　　∴  所求作的方程是.

　　例3  a取何值时，方程，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.

　　分析  满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足.

　　解：设方程的两根是，

　　则 

　　（1）依题意，有

　　由（1）得  .

　　由（2）得  ，

　　∴  时，方程两根互为相反数.

　　（2）依题意，得

　　由（1）得  ，

　　由（2）得  ，

　　∴  时，方程两根互为倒数.

　　点拨  方程的两根互为相反数，也可由条件且异号来确定.

　　例4  已知关于x的方程的两个实数根的平方和是，求m值.

　　解：设方程的两根是.

　　则  .

　　

　　解这个方程，得

.

　　当时，

　　∴  舍去.

　　当时，

　　∴  .

　　点拨  例3、例4都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例3是由确定了m的取值范围，然后求出m的值.而例4中的是一个一元二次不等式，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.

　　例5  已知关于x的一元二次方程的两个不等实根的倒数和为S，求S的范围.

　　分析  题中方程的一般形式为，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m的取值范围，就能求两根倒数和S的范围.

　　解：整理原方程，得

　　依题意，有           

　　解得    且.

　　设方程的两根为，

　　则 

　　

　　即  .

　　例6  关于x的方程  ①  与  ②，若方程(1)的两个实数根的平方和等于方程(2)的一个整数根，求m的值.

　　分析  利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m的方程，求出m的值.

　　解：设方程①的两个实数根为，

　　则 

　　∴ 

　　把方程②变形为

　　解这个方程，得 

　　若为整数根，根据题意，得

.

　　解这个方程，得.

　　此时不是整数根，不符合题意，舍去.

　　若为整数根，根据题意，得

.

　　解这个方程，得.

　　当时，方程②的是整数，

　　且，方程①有两个实数根，符合题意.

　　当时，方程②的不是整数，不符合题意，舍去.

　　∴  .

　　点拨  这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.

　　当求出方程的两根是和后，由于不知道m的取值范围，所以不能盲目地认为是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m的值.求出后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m的值.

　　

典型例题 2

　　例：在，，斜边，两直角边的长是关于的一元二次方程的两个根，求较小锐角的正弦值。（2002年北京市东城区中考试题）

　　解：是方程的两个根，

　　，

　　在，由勾股定理得

　　而，，

　　   

　　即

　　解关于的方程，得，

　　是的两条直角边的长，

　　

　　因此不合题意，舍去。

　　

　　当时，原方程为

　　解这个方程，得，。

　　不妨设，则

　　       较小锐角的正弦值为。