第六节 正方形

典型例题1

　　例1  填空题

　　（1）如图1，延长正方形 的边 到 ，使 ，连结 交 于点 ，则 ．

　　（2）如图2，正方形 的边长为4， 为 上的一点， ， 为 的中点，则 ．

　

图1　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　解  （1）∵四边形 是正方形

　　∴ ，   ∴

　　∵   ∴∠E=∠1  ∴

　　∴

　　（2）∵正方形 的边长为4

　　∴ ， ，

　　∴ ，

　　 ， ．

　　∴

　　∴

　　例2  如图，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ， 为 的中点， ，延长 交 于点 ．

　　 求证： ．

　　证明   ∵ 为 的中点

　　∴

　　在 △ 中

　　∵

　　∴

　　即

　　∴

　　即

　　∵ ，

　　

　　∴ ．

　　例3  如图，正方形 与正方形 中， ， ， 三点共线，连结 、 ，且延长 交 于 ．求证： ．

　　 分析  要证 ，只要证 ，所以应先证 ，因 且 ，因此只要证明 ，而 ， 分别在△ 和△ 中，故只要证明△ ≌△ 即可．

　　证明  ∵四边形 和四边形 都是正方形

　　∴    ，

　　∴△ ≌△   ∴

　　∵    ∴

　　∵   ∴

　　 ∴     ∴ ．

　　

典型例题2

　　 例4  如图，正方形 中， 、 交于 点，点 是 上任意一点， ， ，垂足为 ．

　　求证：△ 是等腰直角三角形．

　　分析  要证明△ 是等腰直角三角形，只要证 ， ，观察图可知， 、 在△ 和△ 中，所以只要证明△ ≌△ 即可．

　　证明：∵四边形 是正方形

　　∴ ， ， ．

　　∵ ，

　　∴

　　∴四边形 是矩形    ∴

　　∵    ∴

　　∵    ∴

　　∴    ∴

　　在△ 和△ 中  

　　∴△ ≌△   ∴ ，

　　∵

　　∴△ 是等腰直角三角形．

　　 例5  如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ．

　　求证：

　　证法一  如图，延长 到 ，使 ，连结 交 于点 ，连结 ．

　　∵四边形 是正方形

　　∴ ，

　　∴

　　 在△ 和△ 中  

　　∴△ ≌△

　　∴ ，

　　∵    ∴

　　 在△ 和△ 中  

　　∴△ ≌△    ∴

　　∵    ∴

　　在 △ 和 △ 中 

　　∴ △ ≌ △

　　∴  

　　又∵    ∴

　　又∵     ∴ △ ≌ △

　　∴

　　∵

　　∴

　　证法二如图，在 截 ，作 的中点 ，连结 、 、 ．

　　∵四边形 是正方形

　　 ∴ ，

　　∵ ， ，∴ ，

　　在△ 和△ 中 

　　∴△ ≌△ ，∴

　　∵ ，∴

　　 在△ 和△ 中  

　　∴△ ≌△   ∴ ，

　　∴ ，

　　在 △ 和 △ 中 

　　∴ △ ≌ △    ∴    ∴ ．

　　证法三  如图，作 的中点 ，作 ，垂足为 ，连结 、

　　∵四边形 是正方形

　　∴

　　∴

　　 ∵ ， ，

　　∴

　　在△ 和△ 中 

　　∴△ ≌△ ，∴

　　 ∵ ，∴

　　∵ ， ，∴ ，∴

　　在 △ 和 △ 中

　　∴ △ ≌ △     ∴     ∴ ．