第五节 矩形

典型例题一

　　例  填空题

　　（1）如图1，矩形 的对角线长为2， ，则 ．

　　（2）如图2，在矩形 中， ，垂足为 ， ，则 ，则 的度数是____________．

　　
图1　　　　　　　　　　　　　　图2

　　解  （1）∵四边形 是矩形  ∴

　　∵ 　∴

　　在 中，

　　∴

　　（2）∵四边形 是矩形  ∴ ，

　　∴

　　∵ 　∴ 　

　　∵ 　∴ 　∴

　　∴ 　∴

　　∴ ．

　　

典型例题二

　　例1  求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值．

　　已知：如图，在△ 中， ， 为 上任意一点， ， ，垂足分别为 、 ．

　　求证： 是定值．

　　 分析  这种例题首先要探求出这个定值，由于 是底边 上一个动点，那么它的极端位置当然是在端点上了，不妨设点 运动到 点，此时 ， 为腰 上的高（高是不变量）那么下面就只须证明 等于一腰上的高就可以了．

　　证法一  如图，连结 ，过点 作 ，垂足为 ．

　　∵ ．

　　 ，

　　

　　又∵ ，

　　 ∴

　　∵

　　∴ 　即 为定值．

　　证法二  如图，过点 作 ，垂足为 ，

　　 过点 作 ，垂足为 ．

　　∵ ， ，

　　∴

　　∴四边形 是矩形．

　　∴ ，

　　∴

　　∵

　　∴

　　∴

　　 ∵ ，

　　∴

　　在△ 和△ 中

　　

　　∴△ ≌△ 　∴ 　∴

　　即 为定值．

　　证法三  如图，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 交 的延长线于 ．

　　 ∵ ， ，

　　∴

　　∴四边形 是矩形，∴ ， ，

　　∴

　　∵   ∴ ，∴

　　∵   ∴   ∴

　　 在△ 和△ 中

　　∴△ ≌△ 　∴

　　∴

　　即 为定值．

　　注意  证法（一）用三角形的面积公式求解，此法新颖、简捷．由此可见三角形的高不离积（面积），有关三角形的高（高的长度）的问题可以考虑用面积法探索其解（证）法．

　　

典型例题四

　　例1  如图， 中，以为斜边作 △ ，又 为直角．

　　求证：四边形 是矩形。

　　分析  因为平行四边形的对角线互相平分，所以点 既是 △ 斜边 的中点，又是 △ 斜边 的中点，因此连结 ，不难证明 ．

　　证明  连结

　　∵四边形 是平行四边形，∴

　　∵△ 是直角三角形，∴

　　同理： ，∴

　　又∵四边形 是平行四边形

　　∴四边形 是矩形．

　　

典型例题三

　　例1  如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点， ，垂足为 ，且 ， ，求 的长．

　　 分析  利用△ 的面积与矩形 的面积之间的关系可求出 ，所以要连结 ．

　　解  连结

　　∵四边形 是矩形

　　∴

　　 ∴

　　在 △ 中，

　　∵

　　　　

　　∴

　　　　

　　∵ ， ， ∴ ．

　　例2  如图1，矩形 中， ， 交 于 ，矩形的周长为22，求 的长．

　　分析  要求 的长，必须求出 的长，由 ， ，可证明△ ≌△ ，这样就可证得 ，利用矩形的周长及 的长，就可是求出 的长．

　　解  ∵四边形 是矩形，∴

　　 ∵    ∴

　　∴

　　∵

图1

　　∵

　　在△ 和△ 中

　　

　　∴△ ≌△ ，∴

　　∵        ∴

　　在 △ 中

　　 ．