第四节 平行四边形的判定

关于平行四边形的判定的典型例题

（需要计算的证明题）

　　【例】已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 的中点， ．求证： ．

　　【分析】 这是一道需要计算的证明题，显然 ，则 ，欲证 ，只需证 ，在△ 中， ， ，可知 ， ， ，问题得证．

　　【解】连结，在中，，，，

　　所以 ．

　　所以四边形 是平行四边形．

　　所以 ．

　　又因为 ， ，

　　所以 ，且 ．

　　因为 ，

　　所以 ．

　　所以 ．

　　于是 ．

　　从而 ．

　　【说明】

　　选择平行四边形判定方法时，一定要结合条件而定，这样才能做到有的放矢．

　　

关于平行四边形的判定的典型例题

（基础题）

　　【例】下列条件，能判断四边形是平行四边形的是（　）

　　A．一组对角相等，一组对边相等

　　B．对角线互相垂直且相等．

　　C．一组对边平行，另一组对边相等．

　　D．四边形中任意相邻两角互补．

　　【分析】A答案无法证明结论；B答案不能证得对角线互相平分；C答案可举反例：等腰梯形；D答案可证得两组对边分别平行，符合定义．

　　【答案】D

　　【说明】判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设但不符合结论的例子．

　　判断一个四边形是否是平行四边形，一定要得到四个条件中的一个．

　　

关于平行四边形的判定的典型例题

（综合应用）

　　 【例】如图， 中， 、 分别是 、 的中点， 和 相交于点 ， 与 相交于点 ，求证： 与 互相平分．

　　【分析】要证明 与 平分，可证四边形 是平行四边形．可采取证两组对边分别平行．

　　【证明】在 中，

　　∵ ， ．∴ ，

　　又∵ ，

　　∴四边形 是平行四边形．

　　∴ ．

　　同理可证： ．∴ 是平行四边形

　　∴ 和 互相平分．

　　【说明】本例综合运用了平行四边形的判定和性质，先判定四边形是平行四边形，再得到相应的结论．

　　

关于平行四边形的判定的典型例题

（应用判定定理4）

　　 【例】如图1， 中， 于 ， 于 ．求证：四边形 是平行四边形．

　　【分析】由平行四边形的性质，可得△ ≌△ ，从而 ，得四边形 是平行四边形．

　　【解】因为 中， ，所以 ．

　 　又因为 ， ，

　 　所以 ， ．

　 　所以△ ≌△ ．

　 　于是 ．

　　从而四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

　　【说明】

　　此处用的是一组对边平行且相等的四边形是平行四形的判定定理，也可让两组对边分别相等，只要证△ ≌△ ，△ ≌△ 即可；还可证对角线互相平分，只要连结 交 于点 ，证 即可．