第三节 平行四边形及其性质

典型例题

图1

　　【例1】如图1， 的对角线 、 相交于 ，则图中全等三角形有（　）

　　A．2对　　B．3对　　C．4对　　D．5对

　　【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ 和△ ，△ 和△ ，△ 和△ 、△ 和△ ．

　　【答案】C

图2

　　【例2】如图2， 中， 、 的平分线交于点 ， 和 的延长线交于 ，

　　求证： ．

　　【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△ ≌△ ．已知 为公共边， ，又易证 ．问题得证．

　　【证明】在 中，∵ ，

　　∴ ，

　　又∵ （角平分线定义）．

　　∴ ，

　　又∵ ，

　　∴△ ≌△

　　∴ ．

　　说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．

　　本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．

图3

　　【例3】如图3，在 中， 于 ， 于 ， ， ， ，求△ 的面积．

　　【解】在 中， ， 、 ．

　　在 △ 中， ， ．

　　∴ ， ．

　　∴ ．

　　在 △ 中， ．

　　∴ ．

　　故 ．

　　 【例4】已知：如图， 是等腰△ 的底边 上一点， ， ．求证： ．

　　【分析】由于 ， ，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证．

　　【解】因为 ， ，所以四边形 是平行四边形．

　　所以 ．

　　因为 ，所以 ．

　　因为 ，所以 ．

　　所以 ．

　　所以 ．

　　说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．

　　【例5】如图，已知： 中， 、 相交于 点， 于 ， 于 ，求证： ．

　　【分析】

　　【解】因为四边形 是平行四边形，

　　所以 ， ．

　　又因为 、 交于 点，

　　所以 ．

　　又因为 ， ，

　　所以 ．

　　于是△ ≌△ ．

　　从而 ．

　　说明：要学会用这种“倒着找”的方法进行分析．

　　此处不能写成“四边形 是 ”．

　　证明△ ≌△ 时，不能用条件“ ”，这里并没有指明 、 、 三点在一条直线上．

　　【例6】  已知：如图， ，AC、BD交于O，且

　　 求证：

　　证明：过B作 交DC延长线于E，则 。

　　∵ ， ，

　　∴

　　∵ ， ∴

　　∴ ∴

　　∴

　　说明：本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰△BDE，使问题得解．

　　夹在两条平行线间的平行线段相等，是一个能简化证明过程的定理，因为由条件本身可得到一个平行四边形，因此当题目结论只需要证行四边形对边相等，而不需要平行四边形的其他性质时，可直接由上述定理得到线段相等．

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