第二节 二次根式的乘法

典型例题

　　例1．化简

　　(1) ；　(2) ；　(3) （x≥0）；

　　(4) ；　(5) （a≥5）；　(6) （a≥2）

　　分析：此题中的各被开方数都可以分解成几个因数或因式积的形式，根据积的算术平方根的性质，把各因式的算术平方根，能开尽方的因数或因式要全部开出来，以达到化间的目的.

　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　　　∵x≥0，∴原式= ；

　　（4）

　　　　

　　（5）

　　　　∵a≥5，∴a-1≥0，a-5≥0，原式=

　　（6）

　　　　∵a≥2，∴a-2≥0，原式=

　　小结：当被开方数是几个数相乘时，不要先求出乘积，而是把完全平方数的开出来；不是完全平方数的，就先分解因数或因式，然后再开方，注意一般地， . 另外要注意课本上强调本章中如未加说明的字母一般均表示正数，此题中（3）（5）（6）字母均有限制，目的保证被开方数是一个正数的完全平方数.

　　例2．计算（字母均为正数）

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） ；　　（4） ；

　　（5） （x＞y）；　（6） ；

　　分析：逆向利用积的算术平方根的性质， （a≥0，b≥0）得到 （a≥0，b≥0）这就是二次根式的乘法法则. 有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同样适用.

　　解：（1）

　　（2）

　　　　

　　（3）

　　（4）

　　（5）

　　（6）

　　　　

　　小结：

　　例3．比较下列各组数的大小：

　　（1） 和 ；　（2） 和 ；　（3） 和

　　分析：比较两个根式的大小，可转化为比较两个被开方数的大小，具体做法是，将根号外面的正因式平方后移到根号里面，计算出被开方数，如果两个正数比较，也可以采用平方法，计算出它们的平方数，再比较大小.，一般地，如果a＞0，b＞0，且 ，则a＞b.

　　解：（1）∵ ，

　　　　而45＞24，∴ ＞

　　（2）∵

　　　　

　　　　而 ，∴ ＜

　　（3）∵ ，∴

　　小结：两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的数反而小.

　　例4．已知长方形的长 cm，宽是 cm，求与长方形面积相等的圆的半径.

　　分析：长方形面积=长×宽，圆面积= ，根据题意有 ，由等式可以解出半径r.

　　解：设圆的半径为rcm,

　　根据题意得，

　　∴ ，∴ ，

　　∴ ， （cm）（负值舍去）

　　答：圆的半径是 cm.

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