第五节 实数

典型例题

　　例1．下列说法是否正确？为什么？

　　（1）无限小数都是无理数；

　　（2）无理数都是无限小数；

　　（3）有理数都是有限小数；

　　（4）不带根号的数都是有理数；

　　（5）实数与数轴上的点一一对应；

　　（6）实数有正实数与负实数两种．

　　解：（1）不正确，因为只有无限不循环小数方是无理数，而无限循环小数是有理数，如 是有理数
　　（2）正确，因为无理数是无限不循环小数；

　　（3）不正确，因为无限循环小数是有理数，因此有理数不一定是有限小数，如 ；
　　（4）不正确，如 不带号，但 是无理数；

　　（5）正确，因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．

　　（6）不正确，因为实数除了有正实数和负实数外，还包括0．

　　小结：要理解无理数、实数的概念，掌握实数的分类，分类要有统一标准，分类后不漏不多.

　　例2．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

　　0.5，，3.14，，，，，， ，0．

　　分析：判定一个数是不是无理数，不能只看它的形式，还要看算出的结果，应先将含有根号的数化简，然后再根据无理数的定义进行判断．

　　解： ∵，，，，；
　　　∴有理数有：0.5，3.14， ， ， ，0；
　　　无理数有： ， ， ， ．

　　例3． 计算：

　　（1） （精确到0.01）；（2） （保留三个有效数字）．

　　解：（1） ；

　　（2）

　　　 ．

　　小结：近似值的计算过程中，所取近似值的小数位，必须比题目要求的精确度多取一位进行计算，最后结果按题目要求取近似值．

　　例4．比较下列数的大小：

　　（1） 和3.1415；　（2） 和

　　分析：比较大小首先判断数的正负，再比较数的绝对值的大小.

　　解：（1） ，

　　　 ，　　

　　（2） ，而 ，则

　　　

　　小结：比较无理数和有理数的大小，一种是将无理数转化为近似值的有理数比较，另一种采用算术平方根的比较法，即被开方数间比较大小.

　　例5．求下列各式的x：

　　（1） ；　　（2）

　　分析：根据绝对值的概念：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，把绝对值符号内的数看作整体求解.

　　解：（1）

　　（2） ， ，

　　　即 或

　　　当 时， ， ；

　　　当 时， ， .

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