第七节 可化为一元一次方程的分式方程　

典型例题

　　例1、解下列方程：

　　（1） ；　（2） ．

　　分析  去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根.

　　解：（1）方程两边同乘以 ，

　　　得  ．

　　　即 ．

　　　检验：把 代入方程左边，

　　　得 ．

　　　∵左边＝右边，

　　　∴ 是原方程的解．

　　（2）方程两边同乘以 ，

　　　得  ．

　　　∴

　　　检验：把 代入方程左边，

　　　得 ；

　　　把 代入方程右边，

　　　得 ．

　　　∵左边＝右边，

　　　∴ 是原方程的解．

　　小结： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；

　　2．所得结果是否为原方程的解，需要检验．

　　例2、解方程：

　　（1） ；　（2） ．

　　解：（1）方程两边同乘以 ，得

　　　

　　　

　　　 ．

　　　因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，所以此方程无解，即原方程也无解．

　　（2）方程两边同乘以 ，得

　　　 ，

　　　 ，

　　　 ，

　　　∴ ．

　　　检验：把 代入方程左边，得

　　　 ．

　　使分母为零，分式无意义．所以2不是原方程的根，原方程无根．

　　小结： 1．把分式方程转化成整式方程后，整式方程可能有解，可能无解．如（1）题．若无解，则原分式方程必无解；既使整式方程有解，将解代到分式方程中去检验，也可能使分式方程无解．如（2）题．由此可见验根的重要性与必要性．

　　2．使分式方程无解的原因是整式方程的解使分式方程中的分母为零．显然增根的产生是由于去分母引起的，因此检验的方法可简化成只将整式方程的代入最简公分母即可．

　　例3、解方程：

　　 ．

　　分析  先将分母因式分解，再找最简公分母．

　　解：方程变形为

　　　 ．

　　　方程两边都乘以 ，得

　　　 ．

　　　去括号，整理得

　　　 ，

　　　∴ ．

　　　检验：把 代入

　　　∴ 是原方程的解．

　　点拨  此解法在去分母的过程中使未知数出现了二次的情况，虽然最终消去了二次项，但运算过程略显复杂．若在去分母之前，先减少分子中未知数的个数，把每个分式化简，将避免二次项的出现．

　　例4、解关于 的方程：

　　

　　分析：对于含字母系数的方程可转化为含字母系数的一元一次方程求解.

　　解：方程两边同乘以 ，得

　　　 ，

　　　移项整理，得

　　　 ．

　　　∵ ，

　　　∴方程两边同除以 ，得

　　　 ．

　　　即 ．

　　　经检验： 是原方程的解．

　　小结：对于字母系数思路与数字系数相同，同样要验根.

　　例5、 为何值时，方程 会产生增根？

　　分析：此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数 ， 的取值决定着未知数 的值，故可用 的代数式表示 ．结合增根产生是最简公分母 时产生的，可建立新的方程求解．

　　解：去分母，得

　　　 ，

　　　∴ ．

　　　当 即 时，方程会产生增根，

　　　∴ ，

　　　∴ ．

　　小结：利用待定系数法求解，将待定系数作为已知数，求出未知数（用代数式表示），由最简公分母为零，求出未知数（增根）的值.，再建立新方程求解.

　　例6、一小船由 港到 港顺流需行6小时，由 港到 港逆流需行8小时．一天，小船早晨6点由 港出发顺流到 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由 港漂流到 港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？

　　分析：本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含的相等关系．

　　解：（1）设小船由 港漂流到 港用 小时，则水速为 ．

　　　由静水速度＝顺流速度－水速＝逆流速度＋水速，

　　　∴ ，

　　　解得 （小时）．

　　　经检验 是原方程的解．

　　答：小船按水流速度由 港漂流到 港要48小时．

　　（2）设救生圈在 点钟落入水中，由问题（1）可知水流速度为每小时 ．小船顺流由 港到 港用6小时，逆流走1小时，同时救生圈又顺流向前漂了1小时，依题意有：

　　 ，

　　解得： ．

　　答：救生圈在中午11点落水．

　　小结：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，然后从中找出题目中需要的.

　　例7、抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝．甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？

　　分析  这是工程问题，要涉及到的是工作效率、工作时间和总工作量．若把总工作量看成1，设出甲、乙队各需的时间，可得到各自的工作效率，于是甲、乙的工作量可求出．

　　解：设单独完成全部工作甲需 小时，乙需 小时．

　　　依题意，得

　　　 ．

　　　解之得 ．

　　　经检验 是原方程的解．

　　　∴ ．

　　答：甲、乙两队单独完成全部工程各需要6小时和9小时．

　　小结： 实际上总工作量可以设成 ，但在运算过程中可以消去，也就是说，总工作量是个无关的量，因此一般把总工作量看成1．

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