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当前位置:第一节 整式
作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:13阅读：nyq
字号：小|大
典型例题
例1 下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式？
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：单项式有：
，
，
，
多项式有：
，
，
，
．
说明：
不是单项式，因为单项式只含有乘法运算或数字作除数的除法运算．
可写成
，因此
是多项式．
例2 指出下列各单项式的系数和次数：
，
，
，
，
．
解：
的系数是
，次数是2；
的系数是
，次数是3次；
的系数是1，次数是1次；
的系数是1，次数是1次；
的系数是
，次数是7次；
说明： 
的次数是1而不是0次，
是一个分数，
是一个无限不循环的分数，
、
都是数字因数，所以
是单项式
的系数．
例3 下列多项式各是几次几项式，分别写出各多项式的项．
（1）
； （2）
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）
解：（1）
是三次二项式，它的项分别是：
，－1；
（2）
是二次三项式，它的项分别
；
（3）
是三次四项式，它的项分别是：
；
（4）
是四次二项式，它的项分别是：
，
；
（5）
是三次二项式，它的项分别是：1，
；
（6）
是六次三项式，它的项分别是：
，
，
．
说明： 确定多项式的项及其系数时应包括它前面的符号．比如（3）题各项分别是
，
，
，
，而不是
，
，
，
．
例4 把多项式
．
（1）按字母
的降幂排列； （2）按字母
的升幂排列．
解：（1）
（2）
．
说明： ①
不含有
，视为常数项，因此
是关于
的最低次项；类似地
是关于
的最低次项．②多项式中的项是包括它前面的符号的，变更项的位置时连同它前面的符号一起移动．如果原来的第一项省略性质符号“＋”，移到后面时就应补上“＋”号，如果原来中间项移到第一项而性质符号是“＋”也可省略“＋”，但性质符号“－”不能省略．含有两个（或多个）字母的多项式，按某一字母排列时，只按这个字母的指数排列，没有这个字母的项，若按降幂排列，则排在最后一项，若按升幂排列排在最前面一项．
典型例题
例1(1)求单项式 、 、 、 的和；
(2)求单项式 、 、 的和与 的差。
解：(1) （列式）
（去括号）
；（合并同类项）
(2) （列式）
（去小括号）
（合并同类项）
（去中括号）
（合并同类项）
说明：求若干个单项式和与差的步骤，一般有列式，去括号，合并同类项三步，要注意每一步运算的根据，做到步步有理有据，以保证运算的正确性。
例2(1) 求多项式
与 的和；
(2) 求多项式 与 的差。
解：(1) （ ）+（ ）
；
(2) （ ）－（ ）
说明：本题是求两个多项式的和与差，列式时都要添上括号，把每个多项式分别括起来，再用加减连接；运算时，按去括号法则，先去掉括号，再合并同类项。
例3计算：
(1) 
；
(2)
分析：由于题中有多重括号，所以要依次去括号，边去括号边合并同类项，以简便运算。
解：(1)
；
(2)
说明：有多重括号时，一般先从内层括号开始，先去掉小括号，合并同类项；再去中括号，合并同类项；最后去大括号，合并同类项。一层一层地去括号不会发生混乱，去括号时一定要注意符号的变号。
例4先化简再求值．
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
分析：此题所含的项较多，如果直接代入数值求解比较麻烦，因此要求先化简，即先去括号，合并同类项，然后再代入求值．
解：(1)
当 时，
原式
；
(2)
当 时，
原式
说明：当把字母的指定数值代入化简后代数式时，要适当添上括号，如式 中， 用 代替时，
就是 ，若不写括号会发生错误．求值时，要注意式中的同一字母必须用同一数值去代替，式中原有的数字和运算符号都不能改变．
例5(1) 已知： ，求 的值．
(2) 已知： ，求 的值．
分析：(1) 题中没有直接给出 、 的值，由非负数 、 和非负数的性质可以知道， ，由此可求出
、 的值，然后把
、 代入化简后的整式求值．
(2) 题可以采用类似的分析方法进行求解．
解：(1) ∵
∴
∴
当
时，
原式
(2) ∵
∴
∴
原式
当
时，
原式
说明：(2) 题中整式里隐含着
，由题目的条件可知
，那么把
当作一个整体用0代入进行计算会更简便些，如第一个括号内的
的系数都是偶数，容易化成
的形式，即
．第二个括号
可变为
的形式，
可以添括号看作一个整体，即
，这样无需求出
的值就可以求出整式的值．
(2) 另解：
∵
∴
即
当
时，
原式