第六节 两个平面垂直的判定和性质

教学设计示例一

9.6 两个平面垂直的判定和性质 第一课时

教学目标：
　　1．理解二面角的有关概念，能画出二面角．
　　2．会求二面角的平面角．

教具准备：投影胶片、三角板．

教学过程：
［设置情境］
　　看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？
［探索研究］
1．二面角
　　（1）半平面
　　平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
　　（2）二面角
　　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
　　（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角 ．

　　　　①直立式　　　　　　　　　　　　　　②平卧式

2．二面角的平面角
　　教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．
　　平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？
　　让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法．
　　现给出二面角的平面角的定义：
　　以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
　　如图2，二面角 ， ， ， ， ， ． 是二面角 的平面角．

　　二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重合时，平面角为 ；当两个半平面合成一个平面时，平面角为 ．求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．例题分析
　　例1  如图3，平面角为锐角的二面角 ， ， ， ，若 与 所成角为 ，求二面角 的平面角．

解：作 于 ，作 于 ，连结 ，则 ， 是二面角的平面角．
　　又 是 与 所成的角，
　　设 ，
　　则 ， ， ．
　　∴ ．

　　例2  正三角形 边长为10， 平面 ， 、 与平面 的距离为4和2， 、 在平面 的同侧，求：平面 与平面 所成的角 ．
解：如图4．设 、 是 、 在平面 上的射影，延长 交平面 于 ，
　　则平面 ．
　　由已知可得 、 分别是 和 的中点．
　　∴
　　由 得 ．
　　又 ，故 ，由三垂线逆定理得 ．
　　由于 ，则 ．
　　∴ ．

［演练反馈］
　　1．课本P36练习1，2，3，4．
　　2．二面角指的是（      ）
　　A．两个平面相交所成的角
　　B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形
　　C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
　　D．两个相交平面所夹的不大于 的角
　　3．已知△ 中， ， ， ， 在平面 内，△ 所在平面与面 成 角，则△ 在平面 内的射影面积可能是（      ）
　　A．         B．          C．          D．
　　4．已知二面角 的平面角是锐角 ， 内一点 到 的距离为3，点 到棱 的距离为4，那么 的值等于（      ）
　　A．           B．              C．          D．
　　5．已知二面角 的平面角为 ， ，若 到平面 的距离为 ，则 点在 上的射影 到平面 的距离为________________．
　　6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（      ）
　　A．相等          B．互补           C．互余           D．无法确定
　　7．如图5， ，过点 引 所在平面的斜线 ， 与 、 分别成 、 角，求二面角 的平面角的余弦值．

　　8．如图6，在正方体 中，求二面角 的平面角的正切值．

　　9．如图7，在 的二面角 内有一点 ，它到 、 面的距离分别为3和5，求 点到棱 的距离．

［参考答案］

1．略． 2．C  3．D  4．C  5．   6．B

7．提示：在 上任取一点 ，作 交 于 点，作 交 与 点，令 ，则 即为所求，先在 △ 及△ 中算出 、 、 、 ，再在 △ 中算出 ．

8．提示：连结 交 于点 ，连结 ，证明 就是二面角 的平面角．

9．提示：分别作 、 垂直于面 、 于点 、 ，证明 面 ，令 交于 于点 ，连结 、 ，证明 ， ， 为所求．在△ 中用余弦定理算出 ．又 、 、 、 共圆，可由正弦定理去算 ．

［总结提炼］

　　求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角（平臣式、直立式），其次要能够根据定义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂直于面内的直线，这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求，最后要注意作、证、算的步骤安排，当然有时也直接按定义去作二面角的平面角．

布置作业：课本P39习题9.6  1，2，3，4，5．

板书设计：

1．二面角             例1            练习 2．二角面的平面角                       例2

教学设计示例二

9.6 两个平面垂直的判定和性质 第二课时

教学目标：
　　1．理解两个平面垂直的定义．
　　2．掌握面面垂直的判定定理与性质定理．
　　3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．

教具准备：三角板、投影胶片．

教学过程：
［设置情境］
　　提问：
　　（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？
　　（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
　　容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．
　　（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？

［探索研究］
　　1．平面与平面垂直的定义
　　如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．
　　2．两个平面垂直的判定定理
　　提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？
　　（教师可鼓励学生结合自己的生活阅历大胆想象、猜测，并可用书作墙面、桌面作为地面进行模拟．学生不管想出何种方法，也不管其是否可行，教师都应给以表扬、鼓励并作出相应的分析．）
　　由上面的讨论分析，教师得出两个平面垂直的判定定理：
　　如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
　　已知： ， （图1）．
　　求证： ．
证明：设 ，则由 知， 、 共面．
　　∵ ， ，
　　∴ ，垂足为点 ．
　　在平面 内过点 作直线 ，则 是二面角 是直二面角．
　　∴ ．

3．两个平面垂直的性质
　　提问：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？先让学生思考，然后演示实验：将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，由物理学原理知，它会倒塌．
　　由此得到启发，让学生思考：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？
　　先让学生思考一段时间，然后分析：
　　如图2， ， ， ， ，
　　求证： ．
　　分析：在 内作 ．
　　要证 ，只需证 垂直于 内的两条相交直线就行，而我们已经有 ，只需寻求另一条就够了，而我们还有 这个条件没使用，由 定义，则 为直角，即有 ，也就有 ，问题也就得到解决．可由学生写出证明过程．
　　由上面的讨论，我们就得到了两个平面垂直的性质定理：
　　如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
　　下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本的例2（P37）．
　　如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
　　已知： ， ， ， （图3）．
　　求证： ．
　　证明：设 ．过点 在平面 内作直线 ，根据上面的定理有 ．
　　因为经过一点只能有一条直线与平面 垂直，所以直线 应与直线 重合．
　　∴ ．

4．例题分析
　　例题  如图4， 是⊙ 的直径，点 是⊙ 上的动点，过动点 的直线 垂直于⊙ 所在平面， 、 分别是 、 的中点，直线 与平面 有什么关系？试说明理由．
　　解：由 垂直于⊙ 所在平面，知 ， ，即 是二面角 的平面角．由 是直径上的圆周角，知 ．因此，平面 平面 ．由 是△ 两边中点连线，知 ，故 ．由两个平面垂直的性质定理，知直线 与平面 垂直．
　　注意：本题也可以先推出 垂直于平面 ，再由 ，推出上面的结论．

［演练反馈］

1．如图5，在空间边形 中， 平面 ， ， ， ．求证：（1） ；（2）平面 平面 ．

2．如图6， 是△ 所在平面外一点， ， ， ．求证：平面 平面 ．

3．如图7， 垂直于矩形 所在平面， 、 分别是 、 的中点，二面角 为 ．求证：平面 平面 ．

［参考答案］

1．提示：由 ， ，得 面 ，从而面 面 ，又 ，所以 面 ，所以 ，得 面 ．

2．提示：取 中点 ，连结 、 ． ， ，得 ．

3．提示：取 中点 ，连结 、 ，证明： ， ， ， ， ， 面 ， ， ， 面 ， 面 ．

［总结提炼］

　　定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的，理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义．证明面面垂直要从寻找面的垂线入手，课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质定理，在解题时注意应用．

布置作业：课本P39习题9.6  6，7，8，9，10．

板书设计：

1．两个平面垂直的判定         3．两个平面垂直性质之二 2．两个平面垂直的性质之一     4．例题

教学设计示例三

9.6 两个平面垂直的判定和性质 第三课时

教学目标：
　　1．巩固复习二面角的有关概念，进一步培养求二面角的平面角的能力．
　　2．巩固复习面面垂直的定义，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理．

教具准备：三角板．

教学过程：
［复习回忆］
　　1．二面角的有关概念．
　　2．作二面角的平面角的一般方法．
　　3．两个平面垂直的判定定理．
　　4．两个平面垂直的性质定理（两个）．

［探索研究］
　　例1  在平面四边形 中，已知 ， ， ，沿 将四边形折成直二面角 ．
　　（1）求证：平面 平面 ；
　　（2）求平面 与平面 所成的角．

　　解：如图1，其中（1）是平面四边形，（2）是折后的立体图．
　　（1）证明：∵平面 平面 ，交线为 ，
　　又∵ ， ，
　　∴ ， ．
　　∴ 平面 平面 ．
　　（2）过点 作 ， 为垂足，则 平面 ．又过点 在平面 内作 ， 为垂足，连结 ．由三垂线定理可知 ．∴ 是二面角 的平面角．
　　∵点 为 中点，∴ ．
　　又 ，
　　∴ ．
　　　 ．
　　∴ ．即平面 与平面 所成的二面角为 ．
　　点评：折叠问题要特别重视线与线的位置关系，有的在折叠前后保持不变，关于它们的计算，可以在平面图形中求得，如本题中 在折叠前后不变，四边形的四条边的长也不变．所以， 、 均可在平面四边形中求得，但有些量折叠前后会发生变化，如 折叠后不再是 ，点 和点 间的距离折叠后也变短了，已经变化了的量切不可用折叠前的数据进行计算．

　　例2  如图2，在立体图 中， 底面 ， ， 垂直平分 且分别交 、 于 、 ，又 ， ，求以 为棱，以 与 为面的二面角的平面角的度数．
　　分析：由已给出的线面垂直关系及线线垂直关系，很容易发现 平面 ，∴ 就是所求二面角的平面角．
　　解：由于 ，且 是 的中点，因此 是等腰△ 的底边 的中线，所以 ．
　　又已知 ， ，
　　∴ 面 ，∴ ．
　　又∵ 底面 ， 底面 ，
　　∴ ，而 ．
　　∴ 平面 ．
　　∵ 平面 平面 ，
　　∴ ， ．
　　∴ 是所求二面角的平面角．
　　∵ 底面 ，∴ ， ．
　　设 ，则 ， ．
　　又因为 ，所以 ．
　　在 △ 中， ，
　　∴ ，∴ ，即二面角 的平面角的度数为 ．

　　例3  如图3，在底面是直角梯形的立体图 中， ， 面 ， ， ，求面 与面 所成的二面角的平面角的正切值．

　　分析：这是一道求“二面角”的问题，常将两个平面的交线找出，再设法画出所求二面角的平面角．
　　解：延长 、 相交于点 ，连结 ，则 是所求二面角的棱
　　∵ ， ，
　　∴ ，∴ ．
　　∵ 面 ，得面 面 ， 是交线．
　　又 ，∴ 面 ，故 是 在面 上的射影，∴ ，∴ 是所求的二面角的平面角．
　　∵ ， ， ，
　　∴ ．
　　即所求二面角的平面角的正切值为 ．

［演练反馈］

1．如图4，△ 的边 在平面 内，顶点 ，设△ 的面积为 ，它在平面 内射影的面积为 ，且平面 与△ 所在平面所成的二面角的平面角为 （ ）．求证： ．

2．如图5，矩形 中， ，沿 将△ 折起后，使点 在平面 上的射影恰好是 的中点 ，求二面角 的大小．

3．已知正方体 中， 是 的中点，求平面 与底面 所成二面角的平面角的正弦值（图6）．

［参考答案］

1．提示：作 于点 ，则 就是△ 的面积，作 于点 ，连结 ，证 ， ， ．

2．提示：作 于点 ，连结 ，证明 ， 为所求． ， ．

3．分析：延长 交 的延长线于 ，连结 ，∵ ，∴

解法一：∵ ， ，
　　由三垂线定理，得 ．
　　 为二面角的平面角．
　　解得 ．
　　另介绍用射影面积公式解．
　　如果△ 所在平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ，且△ 在平面 内的射影为△ ，则有 ．

解法二：△ 在底面 上的射影是△ ，设正方体的棱长为2，则 ， ，设所求的平面角为 ，则 ，∴ ．

［总结提炼］

　　处理折叠问题，关键是认清折叠前后的不变量，当一个二面角的棱在图形中未显示时，那么求这个二面角的首要任务便是找到棱，这往往要用到公理1或公理2，利用 来求二面角的平面角的方法很特殊，对于有些问题相当方便，请大家注意记忆．

布置作业：

1．课本P39习题9.6  11，12，13，14．

2．一条长为 的线段 夹在互相垂直的两个平面 、 之间， 与 所成的角为 ，与 所成角为 ，且 ， ， ， 、 是垂足．求平面 与平面 所成的角．

［参考答案］

1．略．

2．解：如图7．

　　连结 、 ，可证 ， ，
　　∴ ， ．
　　在 △ 中， ，在 △ 中， ．
　　在 △ 中，可求出 ．
　　又作 于 ，作 ，交 于 ，则 就是二面角 的平面角，由 平面 ，得 ．
　　又 ，∴ 平面 ．
　　∴ ．
　　∴ 即为所求二面角的平面角．
　　在 △ 中， ，
　　在 △ 中， ，
　　在 △ 中， ，
　　∴ ，即平面 与平面 所成的角为 或 ．

板书设计：