第二节 空间直线

教学设计示例二

9.2 空间直线　第二课时

教学目标

　　1．理解异面的定义，会画出两条异面直线．

　　2．理解异面直线所成的角，异面直线的公垂线及距离等概念．

　　3．能利用异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念去求两条异面直线所成的角及两条异面直线间的距离．

　　4．初步了解反证法．

教具准备：投影仪（胶片）、三角板．

教学过程：

［设置情境］

　　两条平行线之间可以用距离度量它们的位置关系，两条相交直线可以用夹角来描述它们的位置关系，那么怎么描述两条异面直线的关系呢，它们之间存在着夹角和距离吗？

［探索研究］

1．异面直线的定义

　　不同在任何一个平面内的两条直线，叫做异面直线．

　　异面直线是指两条直线不能同在任何一个平面内，而不能由 、 就说 一定是异面直线，这是因为在上述情况下，还可能有 且 ．两条直线是异面直线，等价于两条直线既不相交也不平行．

2．异面直线的画法

　　表示异面直线时，以一个或两个平面衬托以显示出它们不共面的特点．如图1

3．两异面直线所成的角

　　过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角．

　　如图2（l），直线 、 是异面直线，图2（2）中 ， ， ．则 和 所成的锐角（或直角）就是 、 所成的角．

4．异面直线互相垂直

　　如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．异面直线 和 互相垂直，也记作 ．

　　以后，我们讲两条直线垂直时，有时交垂直与异面垂直两种情况．异面直线所成的角范围是： ．

5．两条异面直线的公垂线与距离

　　和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线．

　　两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离．

6．例题分析

　　例1  设图3中的正方体的棱长为 ，（1）求直线 和 所成的角的大小；（2）求异面直线 和 的距离．

解：（1）∵

　　∴ 和 所成的锐角就是 和 所成的角．

　　∵

　　∴ 和 所成的角是 ．

（2） ．

　　对于任意两条异面直线，它们的公垂线有且仅有一条（证明略）．高考中，求异面直线的距离，只要求会已给出公垂线的距离的计算．

例2  求证：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．

　　已知： ， ， ， （图4）．

　　求证：直线 和 是异面直线．

证明：用反证法证明．假设直线 和 共面，即有平面 使 ， ，于是 ， ．

　　∵ ， ， ．

　　∴过 和 有且仅有一个平面，即平面 ．于是， 和 是同一平面，即 ．

　　由假设知 ，可知 ，这与已知 矛盾．

　　∴直线 和 是异面直线．

［演练反馈］

1．若 、 是异面直线， 、 是异面直线，则 、 的位置关系不可能是（      ）

　　A．相交直线 　　　　　B．平行直线

　　C．异面直线　　　　　D．以上结论都不对

2．没有公共点的两条直线的位置关系是（       ）

　　A．异面　　　　　　B．平行　

　　C．异面或平行　　　D．不确定

3．下列说法中正确的是（       ）

　　A． ，则 与 是异面直线

　　B． 与 异面， 与 异面，则 与 异面

　　C． 、 不同在平面 内，则 与 异面

　　D． 、 不同在任何一个平面内， 与 异面

4．异面直线 、 分别在平面 和 内，若 ，则直线 必定（      ）

　　A．分别与 、 相交

　　B．与 、 都不相交

　　C．至多与 、 中的一条相交

　　D．至少与 、 中的一条相交

5．在正方体 中，与对角线 异面的棱共有______条．

6． 、 是异面直线， ，则 与 的位置关系是__________．

［参考答案］

1．D  2．C  3．D  4．D  5．6  6．相交或异面

［总结提炼］

　　画两条异面直线必须用一个平面去衬托，异面直线所成角的定义的合理性是由等角定理保证的，要求两条异面直线间的距离必须先找到这两条异面直线的公垂线，考纲中只要求会计算已经给出公垂线段的两异面直线间的距离，反证法一般都是在正面证明不方便的情况下使用的．

（四）布置作业

　　课本P15习题9.2  6，7，8，9，10．

（五）板书设计

教学设计示例三

9.2 空间直线 第三课时

教学目标:

　　1．巩固复习异面直线，异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念

　　2．会根据概念求异面直线所成的角以及两条异面直线间的距离．

教具准备：投影仪（胶片）、三角板．

教学过程：

［复习引入］

　　（1）空间两直线的位置关系，公理4．

　　（2）异面直线的概念．

　　（3）异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．

　　（4）空间等角定理及推论．

［探索研究］

　　例1  如图1，已知平面 ， ， ， ， ，求证： 和 是异面直线．

　　证明：（反证法）

　　假设 、 在同一平面 内．

　　∵ 、 、 既在 内又在 内，且 、 、 三点不

共线．

　　∴ 与 重合．

　　又 、 、 既在 内又在 内．

　　同理， 与 重合．

　　∴ 与 重合．但这与已知 相矛盾，所以假设不成立．

　　故 与 是异面直线．

　　例2  如图2，在正方体 中， 为上底面中心，求下列异面直线所成的角：

　　（1） 与 ；

　　（2） 与 ；

　　（3） 与 ．

　　解：（1）平移 到 ，则 为所求．而 为等边三角形，∴ ．

　　（2）平移 到 （ 分别为 与 的中点，）用公理4证明 ，从而 ，再证 ，得证 为平行四边形，进而发现是菱形，设 与 交点 ，则 与 所成的角为所求∵ ∴ 与 所成角为 ．

　　（3）平移 到 ，则 为所求，解 ，此三角形为等腰三角形（∵ ）， ，

 ．

　　∴ ．

　　例3  如图3，空间四边形 边长均为 ，连对角线 、 ，且 ， 、 分别为 、 的中点．

　　（1）证明： 是异面直线 、 的公垂线；

　　（2）求异面直线 与 的距离

解：（1）连 、 ，由题设，知 ，

　　∴

　　在等腰 中， 是 的中线，

　　∴ ．

　　同理可证， ．

　　∴ 与异面直线 、 相交且垂直，即 是异面直线 与 的公垂线．

　　（2）在 中， _， ，

　　∴ ．

　　因此， 与 间的距离为 ．

［演练反馈］

1．如图4，在正方体中， 、 分别为 、 上的点，且 ，求 与 所成角的余弦值．

 2．如图5， 是异面直线 上的点，线段 ， 为 的中点， 为 的中点， ，求异面直线 所成角的余弦值．

3．如图6，在空间四边形 中， ， 分别是 和 的中点，求异面直线 和 所成角的余弦值．

［参考答案］

1．提示：在棱 上取 ，取 中点 ，连结 ，用公理4证明出 ，得 为平行四边形，从而 ，再由 得到 （公理4），则 即为所求，最后用余弦定理的 ．

2．提示：取 中点 ，连 ，易证 ， ．则 与 所成的角即为所求，在 中用余弦定理算出 ，而 与 所成的角为 的补角，所以结果应为 ．

3．提示：连结 ，取其中点 ，连 、 ，则 ，∴ （或其补角）为异面直线 与 所成的角，在 中， ， ， ， ，∴ ，即异面直线 和 所成角的余弦值为 ．

［总结提炼］

　　在作异面直线所成的角时，顶点往往选择在其中一条直线上，而且常常是该线段的端点或中点，在构成角的过程中，常常让其中一条线不动，另一条线沿着某个平面滑动（平移），直到两线相交，在计算异面直线所成的角时，要注意按“作→证→算”的步骤来进行．

（四）布置作业

1．和两异面直线都垂直的直线（      ）

　　A．不一定存在                 B．仅有一条

　　C．有两条                     D．有无数条

2．空间四边形 的各边长均为 且对角线 ， 分别是 的中点，求 与 所成的角．

3．在棱长为 的正方体 中，

　　（1）求 与 所成的角；

　　（2）若 分别是 的中点，求 与 所成角的余弦值；

　　（3） 与 的距离．

［参考答案］

1．D  2．

3．略解：（1） 为 与 的夹角，在 中， ，∴ ．

（2）取 中点 ，连 ，则 ，∴ 为所求，在 中， ， ， ．

（3） ．

（五）板书设计