第一节平面

教学设计示例（一）

9.1 平面第一课时

教学目标：

　　1．理解平面的概念，掌握平面的画法及记法．

　　2．理解并记住平面的基本性质．

　　3．初步掌握用符号表示点、线、面间的关系．

教具准备：投影胶片、三角板、模型．

教学过程：

［设置情境］日常生活中，哪些东西给我们以平面的形象？平面是如何定义的，怎么画？平面有哪些基本性质呢？

［探索研究］

1．平面的概念

　　常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．与之不同的是几何里的平面是无限延展的．

　　注意：平面的概念是用描述性的语言进行说明的．

2．平面的画法及表示

　　通常我们画出直线的一部分来表示直线．同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形．因此，通常画平行四边形来表示平面（图1）．当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的2倍长．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图2）．有时根据需要也可用其他平面图形（例如三角形等）表示平面．

　　平面通常用一个希腊字母、、等来表示，如平面、平面、平面等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面（图1）．

　　平面内有无数个点，平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集，其中每个点都是它的元素，点在平面内，记作；点在平面外，记作（图3），这里的平面看作是集合，而点看作是元素．

3．平面的基本性质

　　我们下面学习平面的基本性质的三个公理．所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据．

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

　　从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集．

　　直线也是由无数个点组成的集合，点在直线上，记作；点在直线外，记作，如果直线上所有的点都在平面内，或者说平面经过直线，记作．否则，就说直线在平面外，记作．

　　公理1的含义如图4所示，也可以用符号表示为

，，，．

　　公理1为证明直线在平面内提供了依据．

　　公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

　　注意：没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面．

　　两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．

　　如果平面和有一条公共直线，就说平面和相交，交线是，记作．

　　公理2的含义如图5所示，也可以用符号表示为

且．

　　公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径．

　　公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图6）．

　　老师问学生：经过一点、两点或同一直线上的三点有多少个平面？过不在同一直线上的四点呢？前一问有无数个平面，后一问不一定有平面．

　　公理中，“有且只有一个”的含义：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一．不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则未表达出存在性的含义．

　　过、、三点的平面可记作“平面 ”．

［演练反馈］

　　1．举例说明生活中本节公理的应用．

　　2．填空：

　　正方体的各顶点如图7所示，正方体的三个面所在平面、、分别记作、、，试用适当的符号填空．

　　（1），

　　　　　．

　　（2），．

　　（3），．

　　（4），．

　　（5），，．

3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．

　　（1），

（2），

　　（3）

　　（4），，，

［参考答案］

1．（略）

2．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；；

3．（1）点在平面内，点不在平面内．

　（2）直线在平面内，直线不在平面内．

　（3）平面与交于直线．

　（4）直线经过平面外一点和平面内一点．

图形略．

［总结提炼］

［学生回答，教师补充完善．］

本节课主要学习了：

　　1．平面的概念、画法及记法．

　　2．平面的基本性质：公理，公理2，公理3．

　　3．点在（不在）平面内，直线在（不在）平面内，两个平面交于一条直线等的符号的表示．

（四）布置作业

课本P7～P8习题9.1 1，2（1），3，4．

［参考答案］

略．

（五）板书设计

1．平面的概念

2．公理1

公理2

公理3

3．练习

教学设计示例（二）

9.1 平面第二课时

教学目标：理解掌握公理3的三个推论．

教具准备：投影仪、胶片、三角板．

教学过程：

［设置情境］我们知道，不共线三点确定一个平面，那么还有其他的确定一个平面的情况吗？

［探索研究］

　　推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图1（1））．

　　证明：（存在性）设点不在直线上，在直线上任取两点和，于是有，，，即、、为不共线的三点．根据公理3，经过、、三点有一个平面，因为，，所以由公理1可知，即平面是经过直线和点的平面．

　　（惟一性）又根据公理3，经过不共线的三点、、的平面只有一个，所以经过直线和点的平面只有一个．

　　推论1的证明分两部分来证，即第一要证存在一个平面，第二要证这个平面是惟一的．

　　推论1可以用符号表示为

有且只有一个平面，使，．

　　推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（图1（2））．

　　推论2的证明可口头讲一下，详细过程可见“教参”．

　　我们规定：直线和相交于点，记作，不可以只写，需将交点字母写出来，也不能记作．

　　推2可以用符号表示为

有且只有一个平面，使，．

　　推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（图1（3））．

　　推论3的证明分两步进行，第一步证存在性，要利用平行线的定义，即在一个平面内，两条没有公共点的直线叫做平行线，第二步证惟一性，与推论1类似，也可见“教参”．

　　推论3可以用符号表示为

有且只有一个平面，使，．

　　“有且只有一个平”也可以说成“确定一个平面”．

　　公理3及它的三个推论给出了确定一个平面时经常使用的一些条件，下面通过一道例题来学习基本性质的应用．

　　例题如图2，直线，，两两相交，交点分别为、、，判断这三条直线是否共面并说明理由．

　　解：这三条直线共面．理由如下：

　　　　∵直线和相交于点．

　　　　∴直线和确定一个平面（推论2）．

　　　　∵ ，．

　　　　∴ ，．

　　　　∴ （公理1）．

　　因此，直线，，都在平面内，即它们共面．

　　由上可知，证明三条直线共面，可以先证其中两条直线共面，再证第三条直线也在这个平面内．

［演练反馈］

1．两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（）

　　A．2个　　　　　　B．有无数个且在一条直线上

　　C．一个或无数个　　D．1个

2．点在直线上，在平面外，用符号表示正确的是（）

　　A．，　　B．，

　　C．，D．，

3．若，，，，则（）

　　A．B．C．D．

4．三条直线相交于一点，过每两条相交直线作一个平面，最少可作几个平面？最多可作几个平面？若三条直线相交于三点呢？

5．已知直线，且，，求证：、、三线共面．

［参考答案］

1．B 2．B 3．A

4．答：相交于一点时，最少一个面，最多三个平面；相交于在三点时，只有一种情况，即为一个平面．

5．证明：∵

　　∴ 、确定一个平面（推论3）

　　又∵ ，

　　∴ ，

　　∴ ，即（公理1）

　　∴ 、、三线共面．

［总结提炼］

［学生回答，教师完善．］

本节课主要学习了：

　　1．公理3的三个推论：推论1，推论2，推论3．

　　2．证明若干个点、线共面的方法．

（先证其中某些点、线确定一个平面，再证剩余点、线落在此平面内．）

（四）布置作业

　　（1）课本P8习题9.1 2．（2），5，6，7，8．

　　（2）思考题：已知三直线，且直线与、、分别交于、、三点，求证：、、、四条直线共面．

（五）板书设计

推论1

推论2

推论3

例题

画图

练习

教学设计示例（三）

9.1 平面第三课时

教学目标：

　　1．巩固复习平面的基本性质．

　　2．会应用3个公理及推论证明三点共线和若干个点、线共面．

教具准备：投影仪（胶片）、三角板．

教学过程

［基本知识加顾］

平面基本性质小结

名称	作用
公理1	判断直线在平面内的依据
公理2	两个平面相交以及它们的交点共线的依据
公理3及三个推论	确定一个平面的依据