第六节 抛物线的几何性质

教学设计示例（二）

教学目标

　　1．进一步掌握应用抛物线的几何性质，来解决有关问题．

　　2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题．

教学过程

【复习引入】

　　问：抛物线的标准方程有几种形式？抛物线的几何性质包括哪些内容？

　　答：抛物线的标准方程有四种不同的形式，其几何性质包括范围，对称性、顶点、离心率、准线方程等．

　　可利用投影仪展示抛物线标准方程的几何性质．

【例题分析】

　　例1  正三角表的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个正三角形的边长．

　　分析：正三角表和抛物线都是轴对称圆形，如果能证明 轴是它们的公共对称轴，则易解，而学生往往忽略了它的证明，可教师一边分析一边讲解．

　　解：如图 ，设正三角形 的顶点 在抛物线上，且它们坐标分别为 和 则： ，

　　又 所以：

　　即： ，

 ，

　　由此可得 ，即线段 关于 轴对称．

　　由于 垂直于 轴，且

 ，而 ，

　　于是

　　点评：（1）求边长并不困难，往往会直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的而忽略了它的证明．

　　（2）可由    解得 或   得



　　（3）引申，求例1正三角形外接圆的方程

　　依题意可知圆心在 轴上，且过原点故可设所求的圆方程为：

            

  所求的圆方程为

　　例2  顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线截直线 所得的弦长 ，求此抛物线方程．

　　解：设所求的抛物线方程为 ， ， ，

　　把直线 代入 得 ，

　　由 得 或 ，

　　又 ，

　　  

　　      或

　　故所求的抛物线方程为 或

　　点评：顶点在原点、焦点在 轴上的抛物线有开口向左向右两种情形，因此，方程设为 ，这样就避免讨论，简化解题过程．

　　例3  定长为3的线段 的端点 在抛物线 上移动，求 中点到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标．

　　解：如图，设 是抛物线 的焦点， 两点到准线的垂线分别是 ， 点到准线的垂线为 为垂足，则：

　　根据抛物线定义得：



　　设 点的横坐标为 ，则：



　　等号成立的条件是弦 过点 ，

　　由于

 过焦点是可能的，此时 点到 轴最短距离是 ，即 的中点横坐标为 ．当 在 上时，设 、 的纵坐标分别为 、 则 ，从而 ．

 此时 中点的纵坐标为

 的坐标为 时， 到 轴距离的最小值为 ．

　　点评：此题的难点是求最小值．而利用抛物线定义及梯形中位线性质等几何知识使问题变得非常简单，这再一次说明在解题中注意运用圆锥曲线的定义及有关的几何知识，对解题是非常有益的．

　　例4 （2001年高考题）设抛物线 的焦点为 的直线交抛物线于 、 两点．点 在抛物线的准线上，且 轴．证明直线 经过原点 ．

　　证明一：如图因为抛物线 的焦点为 ，所以经过点 的直线 的方程可设为 代入抛物线方程得

若记 ，则 是该方程的两个根，所以

因为 轴，且点 在准线 上，所以点 的坐标为 ，故直线 的斜率为

　　即 也是直线 的斜率，所以直线 经过原点 ．

　　证明二：如图，记 轴与抛物线准线 的交点为 ，过 作 是垂足，则

　　连结 ，与 相交于点 ，则

　　根据抛物线的几何性质，



　　即点 是 的中点，与抛物线的顶点 重合，所以直线 经过原点 ．

　　点评：这是一道几何特浓的解析和何题，它来源于课本习题，就是课本 第6题的逆命题．利用平面几何知识来解决解析几何问题简捷、巧妙，应注意体会和应用．

（三）随堂练习

　　1．证明与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．

　　2．从抛物线 上各点向 轴作垂线段，求垂线中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

　　3．设抛物线的顶点为 ，经过焦点垂直于车的直线和抛物线交于两点 、 ，经过抛线上一点 垂直于车的直线和轴交于点 ，求证线段 是 和 的比例中项．

答案：

　　1．设抛物线的方程为 ，平行于抛物线的轴的直线的方程为 ，由 得

　　因为方程组只有一个解，所以抛物线 与平行于其轴的直线 只有一个交点．

　　2．设垂线段的中点坐标为 ，抛物上相应点的坐标为 ，根据题意 代入

　　由方程可知轨迹是顶点在原点，焦点坐标为 的抛物线

　　3．设抛物线方程为 ，则 点的坐标为 ， 点的坐标为 设 点的坐标为 ，则 点的坐标为 ．

　　因为 所以

　　即 是 与 的比例中项

（四）总结提炼

1．直线与抛物线的位置关系

　　设抛物线方程为 ，当直线斜率存在时，把直线方程代入抛物线方程得关于 （或 ）的一元二次方程（二次项系数为 ）

　　直线与抛物线有两个公共点

　　直线与抛物线有一个公共点 ，或二次项系数 （此时直线平行与抛物线的对称轴）；

　　直线与抛物线没有公共点

　　这里特别要注意 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件，当直线平行于抛物线的对称轴时，也只有一个公共点．

　　2．要重视抛物线定义的应用，“回归定义”有时使问题变得简捷明确，利用坐标法求曲线的方程并研究其性质，体现解析几何反映的数学思想方法．

（五）布置作业

1．过 作直线 与抛物线 仅有一个公共点的直线共有（    ）

　　A．3条　　B．2条　　C．1条　　D．不能确定

2．已知抛物线 上有一点 ，它到焦点 的距离为5， 为原点则 的面积为（    ）

　　A．1　　B． C．2　　D．

3．过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 、 两点，若线段 与 的长分别是 、 则 等于（    ）

　　A．B． C． D．

4．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车空车时能通过此隧道．现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高 米，此车能否通过隧道？并说明理由．

5．过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 、 ，经过点 和抛物线顶点的直线交准线于点 ，求沿直线 平行于抛物线的对称轴．

6．已知抛物线 上存在关于直线 对称的两点，求实数 的取值范围．

答案：1．A  2．C  3．C 

4．取隧道横断面抛物线的顶点为原点，对称轴为 轴建立直角坐标系．

，依题意，点 在此抛物线上，代入抛物线方程得

则

 抛物线方程为

又车与箱共高 米，则顶部所在直线方程为 . 代入抛物线方程 即 米高处隧道的宽为 米，由于 ，因此这时车不能通过隧道．

5．设抛物线的方程为 ，则焦点 ，准线 ，

设 的直线方程为

由   得 .

设    则 ，

直线 的方程为    把 代入得 .

  .

因为 所以直线 平行于抛物线的对称轴．

6．设抛物线上的 两点关于直线 对称，则 与 垂直，可设 的方程为 ，代入 ，整理得：

设 、 ，时，   即  ①

且

又线段 的中点 在直线 上，则    即   ②

把②代入①得    ∴

而    故 .

（六）板书设计

8.6 抛物线的简单几何性（二）
一、复习抛物线的几何性 二、例题分析 例1	例2 例3	例4 三、总结