第九节 函数y=Asin(ωχ＋φ)的图象

（一）教学具准备

　　直尺、投影仪．

（二）教学目标

　　1．掌握由 的变化过程，理解由 到 的变换步骤．

　　2．利用平移、伸缩变换方法，作函数 图像．

（三）教学过程

　　1．设置情境

　　师：上节课，我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像，请同学复述一下变换的具体过程．

　　生：将 的图像通过振幅变换便得到 的图像

　　将 的图像通过周期变换就得到 的图像

　　师：今天这节课，我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像，（板书课题：函数 和 的图像）

　　2．探索研究

　　（1）如何由 的图像通过变换得到 的图像

　　【例1】画出函数 ， ， ， 的简图

　　师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数 ， 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到．

　　同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像．

　　生：从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ，即 的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度，就可以得到 的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像．

　　函数  ，

　　　　　 ，

　　　　　 ，

　　在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）

　　师：我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗？

　　生：函数 ， （其中 ）的图像可以看做把 的图像上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．

　　（2）如何由 的图像通过变换得到 的图像

　　【例2】画出函数 ， 的简图．

　　解：函数 的周期 ，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．

列表

	0
	0	3	0	－3	0

　　描点，连线得图2

　　利用函数的周期性，我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）

　　师：函数 ， 的图像，可以看作用下面的方法得到：先将 上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 ， 的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ， 的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数 ， 的图像．

　　

　　师：我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗？

　　生：函数 ， （其中 ， ）的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）．

　　我们小结一下上述步骤如下：

　　师：其步骤流程图如下：

　　

　　这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．

　　函数 ， （其中 ， ）的简图，可以用类似方法画出．

　　（3） 、 、 的物理意义

　　当函数 ， （其中 ， ）表示一个振动量时， 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．

　　往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率．

　　 称为相位； 时的相位 称为初相．

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）要得到函数 图像，只需将 的图像（      ）

　　A．向右平移　　B．向左平移　　C．向右平移　　D．向左平移

　　（2）函数 的一个周期内图像如图3．

　　则 的表达式 

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

　　（3）把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ，所得的解析式为_________．

参考答案：

　　（1）C．把 右移 ，得

　　（2）D．因为 ，又 与 比较知，是其左移 而得，即

　　（3）变换过程如下：第一步得：

　　　　　　　　　　　第二步得：

　　4．总结提炼

　　（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由 ，此步骤只是平移（ ，左移 个单位； ，右移 个单位），而由 可由二条思路：

　　① 即先平移后压缩．

　　② 即先压缩再平移．

　　不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母 而言的，如， 的图像向右平移 个单位，得到的应是 ，而不是 ；又 的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是 而不是 ．

　　（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．

（四）板书设计

课题________ 1．如何由 的图像   作 的图像   例1 2．如何由 的图像    作 的图像    例2

变换法作 的图像的流程图 演练反馈 总结提炼